Страница 14 номер 40, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); б) \(x^2 - x = 12\); в) \(3x^2 + 2x - 6 = 0\); г) \(9x^2 + 14x - 5 = 0\).
а) \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} x^2 - x &= 12; \\ x^2 - x - 12 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 4 + 72 = 76; \\ \sqrt{76} &= \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 - \sqrt{19}}{3}; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} D &= 14^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 196 + 180 = 376; \\ \sqrt{376} &= \sqrt{4 \cdot 94} = 2\sqrt{94}; \\ x_1 &= \frac{-14 - \sqrt{376}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 - 2\sqrt{94}}{18} = \frac{-7 - \sqrt{94}}{9}; \\ x_2 &= \frac{-14 + \sqrt{376}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 + 2\sqrt{94}}{18} = \frac{-7 + \sqrt{94}}{9}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); \(2\); б) \(-3\); \(4\); в) \(\frac{-1 - \sqrt{19}}{3}\); \(\frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\); г) \(\frac{-7 - \sqrt{94}}{9}\); \(\frac{-7 + \sqrt{94}}{9}\).
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); б) \(x^2 - x = 12\); в) \(3x^2 + 2x - 6 = 0\); г) \(9x^2 + 14x - 5 = 0\).
а) Найдём дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
б) Перенесём 12 в левую часть уравнения с противоположным знаком и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} x^2 - x &= 12; \\ x^2 - x - 12 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4. \end{aligned}\]
в) Найдём дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 4 + 72 = 76\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня. Вынесем множитель из-под знака корня, \(\sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}\), и сократим дроби на 2: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 - \sqrt{19}}{3}; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}. \end{aligned}\]
г) Найдём дискриминант: \(D = 14^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 196 + 180 = 376\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня. Вынесем множитель из-под знака корня, \(\sqrt{376} = \sqrt{4 \cdot 94} = 2\sqrt{94}\), и сократим дроби на 2: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-14 - \sqrt{376}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 - 2\sqrt{94}}{18} = \frac{-7 - \sqrt{94}}{9}; \\ x_2 &= \frac{-14 + \sqrt{376}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 + 2\sqrt{94}}{18} = \frac{-7 + \sqrt{94}}{9}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); \(2\); б) \(-3\); \(4\); в) \(\frac{-1 - \sqrt{19}}{3}\); \(\frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\); г) \(\frac{-7 - \sqrt{94}}{9}\); \(\frac{-7 + \sqrt{94}}{9}\).
