Страница 88 номер 365, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(s = 34\) км — длина трассы
\(t_1 = 48\) мин — велосипедист в пути до выезда мотоциклиста
\(t_2 = 12\) мин — мотоциклист в пути до первой встречи
\(t_3 = 30\) мин — от первой встречи до второй
Найти: скорость мотоциклиста.
Решение:
\(\frac{48}{60} = 0{,}8\) (ч), \(\frac{12}{60} = 0{,}2\) (ч), \(\frac{30}{60} = 0{,}5\) (ч).
Пусть скорость мотоциклиста \(u\) км/ч, а скорость велосипедиста \(v\) км/ч. Мотоциклист догоняет велосипедиста, поэтому \(u > v > 0\).
До первой встречи мотоциклист ехал \(0{,}2\) ч, а велосипедист — \(0{,}8 + 0{,}2 = 1\) (ч). Велосипедист ещё не проехал полного круга, поэтому к первой встрече мотоциклист проехал от пункта \(A\) столько же километров, сколько велосипедист: \(0{,}2u = v\).
После первой встречи они оказались в одной точке трассы, поэтому ко второй встрече, за \(0{,}5\) ч, мотоциклист проехал на один полный круг, то есть на 34 км, больше велосипедиста: \(0{,}5u - 0{,}5v = 34\). \[\begin{cases} 0{,}2u = v, \\ 0{,}5u - 0{,}5v = 34. \end{cases}\] Подставим \(0{,}2u\) вместо \(v\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} 0{,}5u - 0{,}5 \cdot 0{,}2u &= 34; \\ 0{,}5u - 0{,}1u &= 34; \\ 0{,}4u &= 34; \qquad | : 0{,}4 \\ u &= 85. \end{aligned}\] \(v = 0{,}2 \cdot 85 = 17\). Условие \(u > v > 0\) выполнено: скорость мотоциклиста — 85 км/ч, велосипедиста — 17 км/ч.
Проверка: за \(0{,}8\) ч велосипедист проехал \(17 \cdot 0{,}8 = 13{,}6\) (км) — меньше длины трассы. К первой встрече велосипедист проехал \(17 \cdot 1 = 17\) (км), мотоциклист — \(85 \cdot 0{,}2 = 17\) (км). За следующие \(0{,}5\) ч мотоциклист проехал \(85 \cdot 0{,}5 = 42{,}5\) (км), велосипедист — \(17 \cdot 0{,}5 = 8{,}5\) (км), и \(42{,}5 - 8{,}5 = 34\) (км) — ровно один круг.
Ответ: 85 км/ч.
Дано:
\(s = 34\) км — длина трассы
\(t_1 = 48\) мин — велосипедист в пути до выезда мотоциклиста
\(t_2 = 12\) мин — мотоциклист в пути до первой встречи
\(t_3 = 30\) мин — от первой встречи до второй
Найти: скорость мотоциклиста.
Решение:
Переведём минуты в часы: \(\frac{48}{60} = 0{,}8\) (ч), \(\frac{12}{60} = 0{,}2\) (ч), \(\frac{30}{60} = 0{,}5\) (ч).
Пусть скорость мотоциклиста \(u\) км/ч, а скорость велосипедиста \(v\) км/ч. Мотоциклист догоняет велосипедиста, поэтому \(u > v > 0\).
До первой встречи мотоциклист ехал \(0{,}2\) ч, а велосипедист — \(0{,}8 + 0{,}2 = 1\) (ч). Мотоциклист выехал из пункта \(A\), когда велосипедист ещё не проехал полного круга и был впереди него, поэтому в первый раз мотоциклист догнал велосипедиста, проехав от пункта \(A\) столько же километров, сколько велосипедист: \(0{,}2u = v\).
После первой встречи они оказались в одной точке трассы. В следующий раз мотоциклист догнал велосипедиста, когда проехал на один полный круг, то есть на 34 км, больше него; на это ушло \(0{,}5\) ч: \(0{,}5u - 0{,}5v = 34\).
Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} 0{,}2u = v, \\ 0{,}5u - 0{,}5v = 34. \end{cases}\] Подставим \(0{,}2u\) вместо \(v\) во второе уравнение системы и разделим обе части полученного уравнения на \(0{,}4\): \[\begin{aligned} 0{,}5u - 0{,}5 \cdot 0{,}2u &= 34; \\ 0{,}5u - 0{,}1u &= 34; \\ 0{,}4u &= 34; \qquad | : 0{,}4 \\ u &= 85. \end{aligned}\] При \(u = 85\) получим: \(v = 0{,}2 \cdot 85 = 17\). Условие \(u > v > 0\) выполнено: скорость мотоциклиста — 85 км/ч, велосипедиста — 17 км/ч.
Проверка: за \(0{,}8\) ч велосипедист проехал \(17 \cdot 0{,}8 = 13{,}6\) (км) — меньше длины трассы, то есть в пункт \(A\) он ещё не вернулся. К первой встрече велосипедист проехал \(17 \cdot 1 = 17\) (км), мотоциклист — \(85 \cdot 0{,}2 = 17\) (км). За следующие \(0{,}5\) ч мотоциклист проехал \(85 \cdot 0{,}5 = 42{,}5\) (км), велосипедист — \(17 \cdot 0{,}5 = 8{,}5\) (км), и \(42{,}5 - 8{,}5 = 34\) (км) — ровно один круг.
Ответ: 85 км/ч.
