Страница 53 номер 219, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{x^2-16}{x+4} = 0\); б) \(\frac{(x-7)^6(x-6)}{(x-7)^4} = 0\); в) \(\frac{x^2+8x+7}{x^2+2x+1} = 0\).
а) Числитель \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) равен нулю при \(x = 4\) и при \(x = -4\). При \(x = -4\) знаменатель \(x + 4\) равен нулю, поэтому число \(-4\) корнем уравнения не является. При \(x = 4\) знаменатель равен \(4 + 4 = 8 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число 4.
б) Числитель \((x - 7)^6(x - 6)\) равен нулю, когда \(x - 7 = 0\) или \(x - 6 = 0\), то есть при \(x = 7\) и при \(x = 6\). При \(x = 7\) знаменатель \((x - 7)^4\) равен нулю, поэтому число 7 корнем уравнения не является. При \(x = 6\) знаменатель равен \((6 - 7)^4 = 1 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число 6.
в) Числитель равен нулю, если \(x^2 + 8x + 7 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36; \\ x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = -7; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = -1. \end{aligned}\] Знаменатель \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) равен нулю при \(x = -1\), поэтому число \(-1\) корнем уравнения не является. При \(x = -7\) знаменатель равен \((-7 + 1)^2 = 36 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число \(-7\).
Ответ: а) 4; б) 6; в) \(-7\).
Решите уравнение: а) \(\frac{x^2-16}{x+4} = 0\); б) \(\frac{(x-7)^6(x-6)}{(x-7)^4} = 0\); в) \(\frac{x^2+8x+7}{x^2+2x+1} = 0\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) Числитель \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) равен нулю при \(x = 4\) и при \(x = -4\). При \(x = -4\) знаменатель \(x + 4\) равен нулю, поэтому число \(-4\) корнем уравнения не является. При \(x = 4\) знаменатель равен \(4 + 4 = 8 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число 4.
б) Числитель \((x - 7)^6(x - 6)\) равен нулю, когда \(x - 7 = 0\) или \(x - 6 = 0\), то есть при \(x = 7\) и при \(x = 6\). При \(x = 7\) знаменатель \((x - 7)^4\) равен нулю, поэтому число 7 корнем уравнения не является. При \(x = 6\) знаменатель равен \((6 - 7)^4 = 1 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число 6.
в) Числитель равен нулю, если \(x^2 + 8x + 7 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36; \\ x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = -7; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = -1. \end{aligned}\] Знаменатель \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) равен нулю при \(x = -1\), поэтому число \(-1\) корнем уравнения не является. При \(x = -7\) знаменатель равен \((-7 + 1)^2 = 36 \ne 0\). Значит, корень уравнения — число \(-7\).
Ответ: а) 4; б) 6; в) \(-7\).
