Страница 36 номер 132, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
мотоциклист — из А в В, велосипедист — из В в А, выехали одновременно
до встречи — 1 ч 30 мин, то есть \(1{,}5\) ч
мотоциклист приехал в В на 4 ч раньше, чем велосипедист в А
Найти: время велосипедиста на путь из В в А.
Решение:
Пусть велосипедист затратил на путь из В в А \(t\) ч, тогда мотоциклист был в пути \((t - 4)\) ч. Время в пути положительно: \(t - 4 > 0\), то есть \(t > 4\).
Весь путь примем за 1. За 1 ч мотоциклист проезжает \(\frac{1}{t - 4}\) часть пути, велосипедист — \(\frac{1}{t}\). До встречи мотоциклист проехал \(\frac{1{,}5}{t - 4}\) часть пути, велосипедист — \(\frac{1{,}5}{t}\), а вместе — весь путь.
Так как \(t > 4\), числа \(t\) и \(t - 4\) положительны, поэтому \(t(t - 4)\) — положительное число. \[\begin{aligned} \frac{1{,}5}{t - 4} + \frac{1{,}5}{t} &= 1; \qquad | \cdot t(t - 4) \\ 1{,}5t + 1{,}5(t - 4) &= t(t - 4); \\ 3t - 6 &= t^2 - 4t; \\ t^2 - 7t + 6 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6. \end{aligned}\] Корень 1 не подходит: он не удовлетворяет условию \(t > 4\) (время мотоциклиста было бы равно \(1 - 4 = -3\) ч). Значит, \(t = 6\).
Проверка: \(6 - 4 = 2\) (ч) — время мотоциклиста.
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) — часть пути, которую мотоциклист и велосипедист вместе проезжают за 1 ч.
\(1{,}5 \cdot \frac{2}{3} = 1\) — за \(1{,}5\) ч они вместе проезжают весь путь и встречаются, как и сказано в условии.
Ответ: 6 ч.
Дано:
мотоциклист — из А в В, велосипедист — из В в А, выехали одновременно
до встречи — 1 ч 30 мин, то есть \(1{,}5\) ч
мотоциклист приехал в В на 4 ч раньше, чем велосипедист в А
Найти: время велосипедиста на путь из В в А.
Решение:
Пусть велосипедист затратил на путь из В в А \(t\) ч. Мотоциклист приехал на 4 ч раньше, поэтому он был в пути \((t - 4)\) ч. Время в пути положительно, значит, \(t - 4 > 0\), то есть \(t > 4\).
Примем весь путь от А до В за 1. За 1 ч мотоциклист проезжает \(\frac{1}{t - 4}\) часть пути, а велосипедист — \(\frac{1}{t}\) часть пути. До встречи они ехали \(1{,}5\) ч: мотоциклист проехал \(\frac{1{,}5}{t - 4}\) часть пути, велосипедист — \(\frac{1{,}5}{t}\) часть пути, а вместе они проехали весь путь. Так как \(t > 4\), числа \(t\) и \(t - 4\) положительны, поэтому \(t(t - 4)\) — положительное число. Составим уравнение, умножим обе его части на положительное число \(t(t - 4)\), раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и перенесём все слагаемые в правую часть: \[\begin{aligned} \frac{1{,}5}{t - 4} + \frac{1{,}5}{t} &= 1; \qquad | \cdot t(t - 4) \\ 1{,}5t + 1{,}5(t - 4) &= t(t - 4); \\ 3t - 6 &= t^2 - 4t; \\ t^2 - 7t + 6 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} t_1 &= \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6. \end{aligned}\] Корень 1 не подходит по смыслу задачи: он не удовлетворяет условию \(t > 4\) (время мотоциклиста было бы равно \(1 - 4 = -3\) ч). Значит, \(t = 6\), то есть велосипедист затратил на путь из В в А 6 ч.
Проверка: велосипедист был в пути 6 ч, мотоциклист — \(6 - 4 = 2\) (ч). За 1 ч мотоциклист проезжает \(\frac{1}{2}\) пути, велосипедист — \(\frac{1}{6}\) пути, а вместе — \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) пути; за \(1{,}5\) ч они вместе проезжают \(1{,}5 \cdot \frac{2}{3} = 1\), то есть весь путь, и встречаются через \(1{,}5\) ч после выезда, как и сказано в условии.
Ответ: 6 ч.
