Номер №141. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

Равносильными называют неравенства, множества решений которых совпадают, т. е. каждое решение первого неравенства является решением второго, а каждое решение второго — решением первого. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

а) Неравенство \(3x > 0\) равносильно неравенству \(x > 0\) (обе части разделили на положительное число \(3\)). Множество его решений — интервал \((0; +\infty)\).

Неравенство \(\frac{3}{x} > 0\) равносильно неравенству \(3x > 0\), т. е. \(x > 0\). Множество его решений — тот же интервал \((0; +\infty)\).

Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.

б) Неравенство \(-5x > 0\) равносильно неравенству \(x < 0\) (обе части разделили на отрицательное число \(-5\) и изменили знак неравенства на противоположный). Множество его решений — \((-\infty; 0)\).

Неравенство \(\frac{5}{x} < 0\) равносильно неравенству \(5x < 0\), т. е. \(x < 0\). Множество его решений — \((-\infty; 0)\).

Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.

в) Дробь \(\frac{x+1}{x+2}\) отрицательна тогда и только тогда, когда числа \(x+1\) и \(x+2\) разных знаков, т. е. когда \((x+1)(x+2) < 0\). Значит, любое решение неравенства \(\frac{x+1}{x+2} < 0\) есть решение неравенства \((x+1)(x+2) < 0\), и наоборот — неравенства равносильны.

Найдём их общее множество решений. Применяя метод интервалов, находим, что произведение \((x+1)(x+2)\) отрицательно между корнями \(-2\) и \(-1\):

Множество решений обоих неравенств — интервал \((-2; -1)\).

Ответ: равносильными называют неравенства, множества решений которых совпадают; а) равносильны; б) равносильны; в) равносильны.