Страница 14 номер 2, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 1. Неравенства. §1. Числовые промежутки. Страница 14. Номер 2

Задание / условие:

Для каждого из чисел определите, каким множествам оно принадлежит. Числа: А) \(4\); Б) \(\frac{6}{13}\); В) \(\pi\); Г) \(-12\); Д) \(0{,}535\); Е) \(0\). Множества: 1) \(\mathbb{N}\); 2) \(\mathbb{Z}\); 3) \(\mathbb{Q}\); 4) \(\mathbb{R}\).

Решение:

Множества образуют цепочку \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

А) \(4\) — натуральное число: \(4 \in \mathbb{N}\), а значит, \(4 \in \mathbb{Z}\), \(4 \in \mathbb{Q}\), \(4 \in \mathbb{R}\).

Б) \(\frac{6}{13}\) — дробь с целым числителем и натуральным знаменателем, поэтому \(\frac{6}{13} \in \mathbb{Q}\), а значит, и \(\frac{6}{13} \in \mathbb{R}\). Её числитель положителен и меньше знаменателя, поэтому \(0 < \frac{6}{13} < 1\), а между \(0\) и \(1\) целых чисел нет. Следовательно, \(\frac{6}{13} \notin \mathbb{Z}\), а значит, и \(\frac{6}{13} \notin \mathbb{N}\).

В) \(\pi\) — действительное, но не рациональное число: \(\pi \in \mathbb{R}\), \(\pi \notin \mathbb{Q}\), а значит, \(\pi \notin \mathbb{Z}\) и \(\pi \notin \mathbb{N}\).

Г) \(-12\) — целое отрицательное число: \(-12 \in \mathbb{Z}\), а значит, \(-12 \in \mathbb{Q}\) и \(-12 \in \mathbb{R}\). Натуральные числа положительны, поэтому \(-12 \notin \mathbb{N}\).

Д) \(0{,}535 = \frac{535}{1000}\) — дробь с целым числителем и натуральным знаменателем, поэтому \(0{,}535 \in \mathbb{Q}\), а значит, и \(0{,}535 \in \mathbb{R}\). При этом \(0 < 0{,}535 < 1\), а между \(0\) и \(1\) целых чисел нет, поэтому \(0{,}535 \notin \mathbb{Z}\), а значит, и \(0{,}535 \notin \mathbb{N}\).

Е) \(0\) — целое число: \(0 \in \mathbb{Z}\), а значит, \(0 \in \mathbb{Q}\) и \(0 \in \mathbb{R}\). Наименьшее натуральное число — \(1\), поэтому \(0 \notin \mathbb{N}\).

Ответ: А) \(4\) принадлежит множествам \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\); Б) \(\frac{6}{13}\) — множествам \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\); В) \(\pi\) — множеству \(\mathbb{R}\); Г) \(-12\) — множествам \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\); Д) \(0{,}535\) — множествам \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\); Е) \(0\) — множествам \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\).

Задание / условие:

Решение:

Числовые множества из условия образуют цепочку \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\): каждое из них является подмножеством следующего. Каждый элемент подмножества — элемент и самого множества, поэтому число, принадлежащее одному из множеств цепочки, принадлежит и всем следующим. Значит, число, не принадлежащее какому-то множеству цепочки, не принадлежит и ни одному из предыдущих.

А) Число \(4\) натуральное: \(4 \in \mathbb{N}\). Значит, оно принадлежит и всем следующим множествам цепочки: \(4 \in \mathbb{Z}\), \(4 \in \mathbb{Q}\), \(4 \in \mathbb{R}\).

Б) Число \(\frac{6}{13}\) записано дробью с целым числителем \(6\) и натуральным знаменателем \(13\), поэтому оно рациональное: \(\frac{6}{13} \in \mathbb{Q}\), а значит, и \(\frac{6}{13} \in \mathbb{R}\). Числитель дроби положителен и меньше знаменателя, поэтому \(0 < \frac{6}{13} < 1\), а между соседними целыми числами \(0\) и \(1\) целых чисел нет. Следовательно, \(\frac{6}{13} \notin \mathbb{Z}\), а значит, и \(\frac{6}{13} \notin \mathbb{N}\).

В) Число \(\pi\) (отношение длины окружности к её диаметру) — действительное число: \(\pi \in \mathbb{R}\). Известно, что число \(\pi\) не является рациональным, то есть его нельзя записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем: \(\pi \notin \mathbb{Q}\). Значит, \(\pi \notin \mathbb{Z}\) и \(\pi \notin \mathbb{N}\).

Г) Число \(-12\) противоположно натуральному числу \(12\), поэтому оно целое: \(-12 \in \mathbb{Z}\), а значит, \(-12 \in \mathbb{Q}\) и \(-12 \in \mathbb{R}\). Натуральные числа положительны, а число \(-12\) отрицательное, поэтому \(-12 \notin \mathbb{N}\).

Д) Десятичная дробь \(0{,}535\) — это другая запись обыкновенной дроби: \(0{,}535 = \frac{535}{1000}\). Её числитель \(535\) — целое число, знаменатель \(1000\) — натуральное, поэтому число \(0{,}535\) рациональное: \(0{,}535 \in \mathbb{Q}\), а значит, и \(0{,}535 \in \mathbb{R}\). При этом \(0 < 0{,}535 < 1\), а между соседними целыми числами \(0\) и \(1\) целых чисел нет, поэтому \(0{,}535 \notin \mathbb{Z}\), а значит, и \(0{,}535 \notin \mathbb{N}\).

Е) Число \(0\) целое: \(0 \in \mathbb{Z}\), а значит, \(0 \in \mathbb{Q}\) и \(0 \in \mathbb{R}\). Натуральные числа используются при счёте предметов, и наименьшее из них — \(1\), поэтому \(0 \notin \mathbb{N}\).