Страница 40 номер 164, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(|x| \ge 5\); б) \(|-x - 6| \ge 0\); в) \(|4x + 3| \ge 13\).
а) Правая часть — положительное число 5, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x \geqslant 5 \\ x \leqslant -5. \end{array}\right.\]
Множество решений — объединение замкнутых лучей \([5; +\infty)\) и \((-\infty; -5]\): \((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\); оба неравенства нестрогие, поэтому числа \(-5\) и \(5\) входят в множество решений.
б) В правой части стоит 0, а не положительное число, поэтому правило для положительной правой части здесь не применяется.
Модуль любого числа неотрицателен, поэтому \(|-x - 6| \geqslant 0\) при любом \(x\) (нулю модуль равен при \(x = -6\)): множество решений — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
в) Правая часть — положительное число 13, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 4x + 3 \geqslant 13 \\ 4x + 3 \leqslant -13. \end{array}\right.\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 4, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 4x + 3 &\geqslant 13; \\ 4x &\geqslant 10; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant 2{,}5. \\ 4x + 3 &\leqslant -13; \\ 4x &\leqslant -16; \qquad | : 4 \\ x &\leqslant -4. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -4]\) и \([2{,}5; +\infty)\); оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-4\) и \(2{,}5\) входят в множество решений.
Ответ: а) \((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\); б) \((-\infty; +\infty)\); в) \((-\infty; -4] \cup [2{,}5; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(|x| \ge 5\); б) \(|-x - 6| \ge 0\); в) \(|4x + 3| \ge 13\).
а) Правая часть неравенства \(|x| \geqslant 5\) — положительное число 5, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x \geqslant 5 \\ x \leqslant -5. \end{array}\right.\]
Множеством решений первого неравенства совокупности является замкнутый луч \([5; +\infty)\), второго — замкнутый луч \((-\infty; -5]\). Множество решений совокупности — объединение этих лучей: \((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\). Оба неравенства нестрогие, поэтому числа \(-5\) и \(5\) входят в множество решений.
б) В правой части неравенства \(|-x - 6| \geqslant 0\) стоит 0, а не положительное число, поэтому правило для положительной правой части здесь не применяется. Модуль любого числа неотрицателен, значит, при любом значении \(x\) число \(|-x - 6|\) больше нуля или равно нулю (нулю оно равно при \(x = -6\)). Следовательно, неравенство верно при любом \(x\): его решением является любое число, а множеством решений — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
в) Правая часть неравенства \(|4x + 3| \geqslant 13\) — положительное число 13, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 4x + 3 \geqslant 13 \\ 4x + 3 \leqslant -13. \end{array}\right.\]
Решим первое неравенство: перенесём 3 в правую часть и разделим обе части на положительное число 4, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 4x + 3 &\geqslant 13; \\ 4x &\geqslant 10; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant 2{,}5. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 4x + 3 &\leqslant -13; \\ 4x &\leqslant -16; \qquad | : 4 \\ x &\leqslant -4. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -4]\) и \([2{,}5; +\infty)\). Оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-4\) и \(2{,}5\) входят в множество решений.
Ответ: а) \((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\); б) \((-\infty; +\infty)\); в) \((-\infty; -4] \cup [2{,}5; +\infty)\).
