Страница 32 номер 1.95, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните возведение в квадрат:
а) \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\);
б) \(\left(n-\frac{1}{n}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2\);
г) \(\left(\frac{1}{2x}-x\right)^2\).
Подсказка. Можно воспользоваться формулами \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\). Для этого в каждом случае определите, какое выражение надо подставить в формулу вместо \(a\) и какое — вместо \(b\), и примените формулу.
а) \[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}.\]
б) \[\left(n-\frac{1}{n}\right)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}.\]
в) \[\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}.\]
г) \[\left(\frac{1}{2x}-x\right)^2 = \frac{1}{4x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x + x^2 = \frac{1}{4x^2} - 1 + x^2.\]
Ответ: а) \(a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}\); б) \(n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}\); в) \(\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}\); г) \(\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2\).
Выполните возведение в квадрат:
а) \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\);
б) \(\left(n-\frac{1}{n}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2\);
г) \(\left(\frac{1}{2x}-x\right)^2\).
Подсказка. Можно воспользоваться формулами \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\). Для этого в каждом случае определите, какое выражение надо подставить в формулу вместо \(a\) и какое — вместо \(b\), и примените формулу.
Возводим в квадрат по формулам \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).
а) Первое слагаемое — \(a\), второе — дробь \(\frac{1}{a}\):
\[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}.\]
б) Уменьшаемое — \(n\), вычитаемое — дробь \(\frac{1}{n}\):
\[\left(n-\frac{1}{n}\right)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}.\]
в) Слагаемые — дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{b}{a}\):
\[\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}.\]
г) Уменьшаемое — дробь \(\frac{1}{2x}\), вычитаемое — \(x\):
\[\left(\frac{1}{2x}-x\right)^2 = \frac{1}{4x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x + x^2 = \frac{1}{4x^2} - 1 + x^2.\]
Ответ: а) \(a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}\); б) \(n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}\); в) \(\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}\); г) \(\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2\).
