Страница 32 номер 1.92, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.91—1.94).
а) \(\left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right):(a+b)\);
б) \((x^2-y^2):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\);
в) \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right):(x-y)\);
г) \((a+b)^2:\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right)\).
а) \[\left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right):(a+b) = \frac{b^2-a^2}{ab}\cdot\frac{1}{a+b} = \frac{(b-a)(b+a)}{ab(a+b)} = \frac{b-a}{ab}.\]
б) \[\begin{aligned} &(x^2-y^2):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = (x^2-y^2):\frac{x+y}{xy} = {} \\ &= \frac{(x-y)(x+y)xy}{x+y} = xy(x-y) = x^2y-xy^2. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right):(x-y) = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\cdot\frac{1}{x-y} = {} \\ &= \frac{(x-y)^2}{xy(x-y)} = \frac{x-y}{xy}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &(a+b)^2:\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right) = (a+b)^2:\frac{b^2+a^2+2ab}{a^2b^2} = {} \\ &= (a+b)^2:\frac{(a+b)^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)^2a^2b^2}{(a+b)^2} = a^2b^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{b-a}{ab}\); б) \(x^2y-xy^2\); в) \(\frac{x-y}{xy}\); г) \(a^2b^2\).
Упростите выражение (1.91—1.94).
а) \(\left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right):(a+b)\);
б) \((x^2-y^2):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\);
в) \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right):(x-y)\);
г) \((a+b)^2:\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right)\).
Выражение в скобках заменяем одной дробью, после чего выполняем деление.
а) \[\left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right):(a+b) = \frac{b^2-a^2}{ab}\cdot\frac{1}{a+b} = \frac{(b-a)(b+a)}{ab(a+b)} = \frac{b-a}{ab}.\]
б) \[\begin{aligned} &(x^2-y^2):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = (x^2-y^2):\frac{x+y}{xy} = {} \\ &= \frac{(x-y)(x+y)xy}{x+y} = xy(x-y) = x^2y-xy^2. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right):(x-y) = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\cdot\frac{1}{x-y} = {} \\ &= \frac{(x-y)^2}{xy(x-y)} = \frac{x-y}{xy}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &(a+b)^2:\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right) = (a+b)^2:\frac{b^2+a^2+2ab}{a^2b^2} = {} \\ &= (a+b)^2:\frac{(a+b)^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)^2a^2b^2}{(a+b)^2} = a^2b^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{b-a}{ab}\); б) \(x^2y-xy^2\); в) \(\frac{x-y}{xy}\); г) \(a^2b^2\).
