Вопросы после параграфа 1.1 на странице 7, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
• Найдите частное двух целых чисел: \(17:9\); \(16:(-24)\); \(12:4\). Приведите два примера деления целых чисел: первый, когда в частном получается целое число, и второй, когда в частном получается дробь.
• Докажите, что \((x+1)^2\) делится на \(x+1\) и не делится на \(x-1\), рассуждая таким же образом, как во фрагменте 2.
• а) Во фрагменте 3 алгебраическая дробь в общем виде записана как \(\frac{P}{Q}\). Что в этой записи обозначают буквы \(P\) и \(Q\)? В каждой алгебраической дроби, рассмотренной в этом фрагменте, назовите многочлен \(P\) и многочлен \(Q\).
б) Среди многочленов \(x^2-x\), \(x-x\) и \(x+x\) найдите нулевой многочлен.
• Какие числа нельзя подставлять вместо букв в алгебраическую дробь? Входит ли в множество допустимых значений дроби \(\frac{8a}{a-4}\) число 0; \(-4\); 4?
\[17 : 9 = \frac{17}{9}; \qquad 16 : (-24) = \frac{16}{-24} = -\frac{16}{24} = -\frac{2}{3}; \qquad 12 : 4 = \frac{12}{4} = 3.\]
\((-45) : 15 = \frac{-45}{15} = -3\) — в частном целое число.
\(7 : 12 = \frac{7}{12}\) — в частном дробь.
Ответ: \(17 : 9 = \frac{17}{9}\); \(16 : (-24) = -\frac{2}{3}\); \(12 : 4 = 3\); например, \((-45) : 15 = -3\) — в частном целое число, \(7 : 12 = \frac{7}{12}\) — в частном дробь.
\((x + 1)^2 : (x + 1) = x + 1\), так как \((x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2\). Значит, \((x + 1)^2\) делится на \(x + 1\).
Допустим, что существует такой многочлен \(A\), для которого \(A(x - 1) = (x + 1)^2\). Это равенство должно быть верным при любом \(x\), но при \(x = 1\) левая часть обращается в нуль, а правая равна \((1 + 1)^2 = 4\). Получилось противоречие, значит, такого многочлена нет и на \(x - 1\) многочлен \((x + 1)^2\) не делится.
Ответ: \((x + 1)^2 : (x + 1) = x + 1\), так как \((x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2\), поэтому \((x + 1)^2\) делится на \(x + 1\); на \(x - 1\) многочлен \((x + 1)^2\) не делится: если бы существовал такой многочлен \(A\), что \(A(x - 1) = (x + 1)^2\), то при \(x = 1\) левая часть этого равенства обратилась бы в нуль, а правая часть равна 4.
а) \(P\) — числитель дроби, \(Q\) — её знаменатель; оба они многочлены, причём \(Q\) не нулевой многочлен.
\(\frac{ac - 2b}{ab + 3c}\): \(P = ac - 2b\), \(Q = ab + 3c\); \(\frac{x^2 + 4}{x - 2}\): \(P = x^2 + 4\), \(Q = x - 2\); \(\frac{8}{15}\): \(P = 8\), \(Q = 15\) (числа — тоже многочлены); \(\frac{3x^2y + 5xy^2}{1}\): \(P = 3x^2y + 5xy^2\), \(Q = 1\).
б) Многочлен \(x^2 - x\) равен нулю только при \(x = 0\) и при \(x = 1\), многочлен \(x + x = 2x\) — только при \(x = 0\), а многочлен \(x - x\) равен нулю при любом значении \(x\) — это и есть нулевой многочлен.
Ответ: а) \(P\) — числитель дроби, \(Q\) — её знаменатель, оба они многочлены, причём \(Q\) — не нулевой многочлен; в дроби \(\frac{ac - 2b}{ab + 3c}\): \(P = ac - 2b\), \(Q = ab + 3c\); в дроби \(\frac{x^2 + 4}{x - 2}\): \(P = x^2 + 4\), \(Q = x - 2\); в дроби \(\frac{8}{15}\): \(P = 8\), \(Q = 15\); в дроби \(\frac{3x^2y + 5xy^2}{1}\): \(P = 3x^2y + 5xy^2\), \(Q = 1\); б) нулевой многочлен — это \(x - x\).
Нельзя подставлять числа, которые обращают знаменатель дроби в нуль.
Знаменатель дроби \(\frac{8a}{a - 4}\) равен нулю при \(a - 4 = 0\), то есть при \(a = 4\): недопустимо только значение 4.
При \(a = 0\) знаменатель равен \(0 - 4 = -4\), при \(a = -4\) он равен \(-4 - 4 = -8\), то есть оба эти значения допустимы.
Ответ: нельзя подставлять числа, которые обращают знаменатель дроби в нуль; числа 0 и \(-4\) входят в множество допустимых значений дроби \(\frac{8a}{a - 4}\), а число 4 не входит.
• Найдите частное двух целых чисел: \(17:9\); \(16:(-24)\); \(12:4\). Приведите два примера деления целых чисел: первый, когда в частном получается целое число, и второй, когда в частном получается дробь.
• Докажите, что \((x+1)^2\) делится на \(x+1\) и не делится на \(x-1\), рассуждая таким же образом, как во фрагменте 2.
• а) Во фрагменте 3 алгебраическая дробь в общем виде записана как \(\frac{P}{Q}\). Что в этой записи обозначают буквы \(P\) и \(Q\)? В каждой алгебраической дроби, рассмотренной в этом фрагменте, назовите многочлен \(P\) и многочлен \(Q\).
б) Среди многочленов \(x^2-x\), \(x-x\) и \(x+x\) найдите нулевой многочлен.
• Какие числа нельзя подставлять вместо букв в алгебраическую дробь? Входит ли в множество допустимых значений дроби \(\frac{8a}{a-4}\) число 0; \(-4\); 4?
Частное двух целых чисел выражается дробью, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю.
\[17 : 9 = \frac{17}{9}; \qquad 16 : (-24) = \frac{16}{-24} = -\frac{16}{24} = -\frac{2}{3}; \qquad 12 : 4 = \frac{12}{4} = 3.\]
В последнем случае числитель разделился на знаменатель нацело, поэтому частное оказалось целым числом.
Примеры деления целых чисел: \((-45) : 15 = \frac{-45}{15} = -3\) — в частном целое число; \(7 : 12 = \frac{7}{12}\) — в частном дробь.
Ответ: \(17 : 9 = \frac{17}{9}\); \(16 : (-24) = -\frac{2}{3}\); \(12 : 4 = 3\); например, \((-45) : 15 = -3\) — в частном целое число, \(7 : 12 = \frac{7}{12}\) — в частном дробь.
По смыслу действия деления \((x + 1)^2 : (x + 1) = x + 1\), так как \((x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2\). Значит, многочлен \((x + 1)^2\) делится на многочлен \(x + 1\).
Докажем теперь, что \((x + 1)^2\) не делится на \(x - 1\). Воспользуемся методом рассуждения от противного. Допустим, что существует такой многочлен \(A\), для которого выполняется равенство \(A(x - 1) = (x + 1)^2\). Вместо переменной в это равенство можно подставлять любые числа, и при этом всегда должно получаться верное числовое равенство. Однако при \(x = 1\) произведение в левой части обращается в нуль, а значение многочлена в правой части равно \((1 + 1)^2 = 4\). Получилось противоречие, а значит, предположение неверно и такого многочлена не существует.
Ответ: \((x + 1)^2 : (x + 1) = x + 1\), так как \((x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2\), поэтому \((x + 1)^2\) делится на \(x + 1\); на \(x - 1\) многочлен \((x + 1)^2\) не делится: если бы существовал такой многочлен \(A\), что \(A(x - 1) = (x + 1)^2\), то при \(x = 1\) левая часть этого равенства обратилась бы в нуль, а правая часть равна 4.
а) Буквой \(P\) обозначен числитель дроби, буквой \(Q\) — её знаменатель; и числитель, и знаменатель — многочлены, причём знаменатель \(Q\) не является нулевым многочленом. Сама дробь \(\frac{P}{Q}\) — это частное от деления многочлена \(P\) на многочлен \(Q\).
В рассмотренных примерах алгебраических дробей многочлены \(P\) и \(Q\) такие:
в дроби \(\frac{ac - 2b}{ab + 3c}\) числитель \(P = ac - 2b\), знаменатель \(Q = ab + 3c\);
в дроби \(\frac{x^2 + 4}{x - 2}\) числитель \(P = x^2 + 4\), знаменатель \(Q = x - 2\);
в дроби \(\frac{8}{15}\) числитель \(P = 8\), знаменатель \(Q = 15\) (числа — это тоже многочлены);
в дроби \(\frac{3x^2y + 5xy^2}{1}\) числитель \(P = 3x^2y + 5xy^2\), знаменатель \(Q = 1\).
б) Нулевым называют многочлен, который обращается в нуль при любых значениях входящих в него переменных. Многочлен \(x^2 - x\) равен нулю только при \(x = 0\) и при \(x = 1\) (например, при \(x = 2\) его значение равно 2), многочлен \(x + x = 2x\) равен нулю только при \(x = 0\), а многочлен \(x - x\) равен нулю при любом значении \(x\).
Ответ: а) \(P\) — числитель дроби, \(Q\) — её знаменатель, оба они многочлены, причём \(Q\) — не нулевой многочлен; в дроби \(\frac{ac - 2b}{ab + 3c}\): \(P = ac - 2b\), \(Q = ab + 3c\); в дроби \(\frac{x^2 + 4}{x - 2}\): \(P = x^2 + 4\), \(Q = x - 2\); в дроби \(\frac{8}{15}\): \(P = 8\), \(Q = 15\); в дроби \(\frac{3x^2y + 5xy^2}{1}\): \(P = 3x^2y + 5xy^2\), \(Q = 1\); б) нулевой многочлен — это \(x - x\).
В алгебраическую дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль.
Приравняем знаменатель дроби \(\frac{8a}{a - 4}\) к нулю: \(a - 4 = 0\); \(a = 4\). Значит, недопустимо только значение 4.
При \(a = 0\) знаменатель равен \(0 - 4 = -4\), при \(a = -4\) он равен \(-4 - 4 = -8\); ни в том, ни в другом случае знаменатель в нуль не обращается.
Ответ: нельзя подставлять числа, которые обращают знаменатель дроби в нуль; числа 0 и \(-4\) входят в множество допустимых значений дроби \(\frac{8a}{a - 4}\), а число 4 не входит.
