Вопросы после параграфа 1.5 на странице 31, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
• Выполните преобразование выражения \(\left(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m}\right):\frac{m-n}{mn}\) сначала по действиям, как сделано в примере 1, а затем способом, который применён в примере 2.
• В результате преобразования выражения в примере 3 получен двучлен \(c^2+4\). Объясните, почему этот двучлен при любых значениях \(c\) положителен.
Первый способ — по действиям.
1) \(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m} = \frac{m(m-n)-n(m-n)}{mn} = \frac{(m-n)(m-n)}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn}\);
2) \(\frac{(m-n)^2}{mn}:\frac{m-n}{mn} = \frac{(m-n)^2 \cdot mn}{mn(m-n)} = m-n\).
Второй способ. Деление на дробь \(\frac{m-n}{mn}\) заменяем умножением на обратную ей дробь \(\frac{mn}{m-n}\) и раскрываем скобки:
\[\begin{aligned} &\left(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m}\right)\cdot\frac{mn}{m-n} = \frac{(m-n)mn}{n(m-n)}-\frac{(m-n)mn}{m(m-n)} = {} \\ &= m-n. \end{aligned}\]
Ответ: и по действиям, и раскрытием скобок данное выражение преобразуется в двучлен \(m-n\).
Квадрат любого числа неотрицателен: \(c^2 \geqslant 0\), поэтому \(c^2+4\) не меньше 4, а такое число положительно.
Ответ: при любом \(c\) верно \(c^2 \geqslant 0\), поэтому \(c^2 + 4 \geqslant 4\), то есть двучлен \(c^2+4\) положителен при любом значении \(c\).
• Выполните преобразование выражения \(\left(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m}\right):\frac{m-n}{mn}\) сначала по действиям, как сделано в примере 1, а затем способом, который применён в примере 2.
• В результате преобразования выражения в примере 3 получен двучлен \(c^2+4\). Объясните, почему этот двучлен при любых значениях \(c\) положителен.
Первый способ — по действиям.
1) \(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m} = \frac{m(m-n)-n(m-n)}{mn} = \frac{(m-n)(m-n)}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn}\);
2) \(\frac{(m-n)^2}{mn}:\frac{m-n}{mn} = \frac{(m-n)^2 \cdot mn}{mn(m-n)} = m-n\).
Второй способ. Деление на дробь \(\frac{m-n}{mn}\) заменим умножением на обратную ей дробь \(\frac{mn}{m-n}\). Одночлен \(mn\) делится на знаменатель каждой из дробей, стоящих в скобках, поэтому раскроем скобки:
\[\begin{aligned} &\left(\frac{m-n}{n}-\frac{m-n}{m}\right)\cdot\frac{mn}{m-n} = \frac{(m-n)mn}{n(m-n)}-\frac{(m-n)mn}{m(m-n)} = {} \\ &= m-n. \end{aligned}\]
Оба способа дали один и тот же результат.
Ответ: и по действиям, и раскрытием скобок данное выражение преобразуется в двучлен \(m-n\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(c^2 \geqslant 0\) при любом значении \(c\). Прибавляя к неотрицательному числу \(c^2\) число 4, получаем число, которое не меньше 4, а такое число положительно.
Ответ: при любом \(c\) верно \(c^2 \geqslant 0\), поэтому \(c^2 + 4 \geqslant 4\), то есть двучлен \(c^2+4\) положителен при любом значении \(c\).
