Страница 32 номер 8, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачева углубленный уровень. Вероятность и статистика, к учебнику Высоцкого
Высказать гипотезу о числе всевозможных разбиений \(n\) элементов на 3 группы.
Группы считаем различимыми (1-я, 2-я, 3-я), пустую группу — допустимой.
При \(n = 1\) элемент попадает в 1-ю, 2-ю или 3-ю группу, две другие остаются пустыми, — 3 разбиения.
При \(n = 2\) (элементы А и Б): А — в 1-й, затем во 2-й, затем в 3-й группе, и при каждом его положении Б — в 1-й, 2-й, 3-й группе; пустая группа — «—».
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-я группа} & \text{А, Б} & \text{А} & \text{А} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} \\ \hline \text{2-я группа} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{А} & \text{А, Б} & \text{А} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} \\ \hline \text{3-я группа} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{А} & \text{А} & \text{А, Б} \\ \hline \end{array}\]
Разбиений 9. Для одного элемента разбиений \(3 = 3^{1}\), для двух — \(9 = 3^{2}\). Гипотеза: для \(n\) элементов разбиений \(3^{n}\).
Гипотезу можно доказать: каждый из \(n\) элементов попадает в одну из трёх групп, и у каждого элемента 3 варианта при любом размещении остальных; по правилу произведения разбиений \[\underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_{n \text{ множителей}} = 3^{n}.\]
Ответ: \(3^{n}\) разбиений.
Высказать гипотезу о числе всевозможных разбиений \(n\) элементов на 3 группы.
Группы будем считать различимыми (1-я, 2-я, 3-я), а пустую группу — допустимой, как при разбиении на две группы.
При \(n = 1\) единственный элемент попадает в 1-ю, 2-ю или 3-ю группу, а две другие группы остаются пустыми, — 3 разбиения.
При \(n = 2\) (элементы А и Б) разбиения записаны в таблице по системе: элемент А — в 1-й, затем во 2-й, затем в 3-й группе, и при каждом его положении элемент Б — в 1-й, 2-й, 3-й группе; пустая группа отмечена «—».
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{1-я группа} & \text{А, Б} & \text{А} & \text{А} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} \\ \hline \text{2-я группа} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{А} & \text{А, Б} & \text{А} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} \\ \hline \text{3-я группа} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{—} & \text{—} & \text{Б} & \text{А} & \text{А} & \text{А, Б} \\ \hline \end{array}\]
Разбиений 9. Для одного элемента разбиений \(3 = 3^{1}\), для двух — \(9 = 3^{2}\). Гипотеза: для \(n\) элементов разбиений \(3^{n}\).
Гипотезу можно доказать так же, как для двух групп: каждый из \(n\) элементов попадает в одну из трёх групп, и у каждого элемента 3 варианта при любом размещении остальных. По правилу произведения разбиений \[\underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_{n \text{ множителей}} = 3^{n}.\]
Ответ: \(3^{n}\) разбиений.
