Страница 46 номер 2.3.28, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Представить в виде отношения многочленов: 1) \(\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{2x}}+\frac{1}{x}\); 2) \(\frac{\frac{1}{3a}+1}{\frac{1}{a}+3}-\frac{2}{a+1}\); 3) \(\frac{x-\frac{4x-4}{x}}{\frac{2}{x}-1}-\frac{2}{x+2}\); 4) \(\frac{\frac{3}{b}-1}{b-\frac{6b-9}{b}}+\frac{1}{b+3}\).
1) \[\frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{2x}} = \frac{\left(2 - \frac{1}{x}\right) \cdot 2x}{\left(1 - \frac{1}{2x}\right) \cdot 2x} = \frac{4x - 2}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1)}{2x - 1} = 2;\]
\[2 + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}.\]
2) \[\frac{\frac{1}{3a} + 1}{\frac{1}{a} + 3} = \frac{\left(\frac{1}{3a} + 1\right) \cdot 3a}{\left(\frac{1}{a} + 3\right) \cdot 3a} = \frac{1 + 3a}{3 + 9a} = \frac{1 + 3a}{3(1 + 3a)} = \frac{1}{3};\]
\[\frac{1}{3} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a + 1 - 6}{3(a + 1)} = \frac{a - 5}{3(a + 1)}.\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{x - \frac{4x - 4}{x}}{\frac{2}{x} - 1} = \frac{\left(x - \frac{4x - 4}{x}\right) \cdot x}{\left(\frac{2}{x} - 1\right) \cdot x} = \frac{x^2 - 4x + 4}{2 - x} = {} \\ &= \frac{(x - 2)^2}{-(x - 2)} = 2 - x; \end{aligned}\]
\[2 - x - \frac{2}{x + 2} = \frac{(2 - x)(x + 2) - 2}{x + 2} = \frac{4 - x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2 - x^2}{x + 2}.\]
4) \[\frac{\frac{3}{b} - 1}{b - \frac{6b - 9}{b}} = \frac{\left(\frac{3}{b} - 1\right) \cdot b}{\left(b - \frac{6b - 9}{b}\right) \cdot b} = \frac{3 - b}{b^2 - 6b + 9} = \frac{-(b - 3)}{(b - 3)^2} = -\frac{1}{b - 3};\]
\[-\frac{1}{b - 3} + \frac{1}{b + 3} = \frac{-(b + 3) + b - 3}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{-6}{b^2 - 9} = \frac{6}{9 - b^2}.\]
Ответ: 1) \(\frac{2x + 1}{x}\); 2) \(\frac{a - 5}{3(a + 1)}\); 3) \(\frac{2 - x^2}{x + 2}\); 4) \(\frac{6}{9 - b^2}\).
Представить в виде отношения многочленов: 1) \(\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{2x}}+\frac{1}{x}\); 2) \(\frac{\frac{1}{3a}+1}{\frac{1}{a}+3}-\frac{2}{a+1}\); 3) \(\frac{x-\frac{4x-4}{x}}{\frac{2}{x}-1}-\frac{2}{x+2}\); 4) \(\frac{\frac{3}{b}-1}{b-\frac{6b-9}{b}}+\frac{1}{b+3}\).
Многоэтажную дробь преобразуем, умножив её числитель и знаменатель на общий знаменатель всех входящих в неё дробей.
1) Числитель и знаменатель умножаем на \(2x\):
\[\frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{2x}} = \frac{\left(2 - \frac{1}{x}\right) \cdot 2x}{\left(1 - \frac{1}{2x}\right) \cdot 2x} = \frac{4x - 2}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1)}{2x - 1} = 2;\]
\[2 + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}.\]
2) Числитель и знаменатель умножаем на \(3a\):
\[\frac{\frac{1}{3a} + 1}{\frac{1}{a} + 3} = \frac{\left(\frac{1}{3a} + 1\right) \cdot 3a}{\left(\frac{1}{a} + 3\right) \cdot 3a} = \frac{1 + 3a}{3 + 9a} = \frac{1 + 3a}{3(1 + 3a)} = \frac{1}{3};\]
\[\frac{1}{3} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a + 1 - 6}{3(a + 1)} = \frac{a - 5}{3(a + 1)}.\]
3) Числитель и знаменатель умножаем на \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x - \frac{4x - 4}{x}}{\frac{2}{x} - 1} = \frac{\left(x - \frac{4x - 4}{x}\right) \cdot x}{\left(\frac{2}{x} - 1\right) \cdot x} = \frac{x^2 - 4x + 4}{2 - x} = {} \\ &= \frac{(x - 2)^2}{-(x - 2)} = 2 - x; \end{aligned}\]
\[2 - x - \frac{2}{x + 2} = \frac{(2 - x)(x + 2) - 2}{x + 2} = \frac{4 - x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2 - x^2}{x + 2}.\]
4) Числитель и знаменатель умножаем на \(b\):
\[\frac{\frac{3}{b} - 1}{b - \frac{6b - 9}{b}} = \frac{\left(\frac{3}{b} - 1\right) \cdot b}{\left(b - \frac{6b - 9}{b}\right) \cdot b} = \frac{3 - b}{b^2 - 6b + 9} = \frac{-(b - 3)}{(b - 3)^2} = -\frac{1}{b - 3};\]
\[-\frac{1}{b - 3} + \frac{1}{b + 3} = \frac{-(b + 3) + b - 3}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{-6}{b^2 - 9} = \frac{6}{9 - b^2}.\]
Ответ: 1) \(\frac{2x + 1}{x}\); 2) \(\frac{a - 5}{3(a + 1)}\); 3) \(\frac{2 - x^2}{x + 2}\); 4) \(\frac{6}{9 - b^2}\).
