Страница 43 номер 2.3.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Дробь сокращается только после разложения числителя и знаменателя на множители.

1) \(\frac{2xy^2 - 3x^2y}{12x^2y^3 - 18x^3y^2} = \frac{xy(2y - 3x)}{6x^2y^2(2y - 3x)} = \frac{1}{6xy}\);
2) \(\frac{4a^3 + 6a^2b^2}{6a^2b^2 + 9ab^4} = \frac{2a^2(2a + 3b^2)}{3ab^2(2a + 3b^2)} = \frac{2a^2}{3ab^2} = \frac{2a}{3b^2}\);
3) \(\frac{3x^2 - 6xy - x + 2y}{12x - 4} = \frac{3x(x - 2y) - (x - 2y)}{4(3x - 1)} = \frac{(x - 2y)(3x - 1)}{4(3x - 1)} = \frac{x - 2y}{4}\);
4) \(\frac{10x - 25}{2x^2 + 15y - 6xy - 5x} = \frac{5(2x - 5)}{x(2x - 5) - 3y(2x - 5)} = \frac{5(2x - 5)}{(2x - 5)(x - 3y)} = \frac{5}{x - 3y}\);
5) \(\frac{0{,}04a^2 - 9b^2}{0{,}04a^2 + 1{,}2ab + 9b^2} = \frac{(0{,}2a - 3b)(0{,}2a + 3b)}{(0{,}2a + 3b)^2} = \frac{0{,}2a - 3b}{0{,}2a + 3b}\);
6) \(\frac{0{,}09b^2 - 1{,}2ab + 4a^2}{0{,}09b^2 - 4a^2} = \frac{(0{,}3b - 2a)^2}{(0{,}3b - 2a)(0{,}3b + 2a)} = \frac{0{,}3b - 2a}{0{,}3b + 2a}\);
7) \(\frac{a^2 - 16}{a^3 - 64} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{(a - 4)(a^2 + 4a + 16)} = \frac{a + 4}{a^2 + 4a + 16}\);
8) \(\frac{8b^3 - 125}{4b^2 - 25} = \frac{(2b - 5)(4b^2 + 10b + 25)}{(2b - 5)(2b + 5)} = \frac{4b^2 + 10b + 25}{2b + 5}\);
9) \(\frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} - 2x^n y^n + y^{2n}} = \frac{(x^n - y^n)(x^n + y^n)}{(x^n - y^n)^2} = \frac{x^n + y^n}{x^n - y^n}\);
10) \(\frac{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}}{a^{2n} - b^{2n}} = \frac{(a^n + b^n)^2}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} = \frac{a^n + b^n}{a^n - b^n}\);
11) \(\frac{a^{3n} + b^{3n}}{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}} = \frac{(a^n + b^n)(a^{2n} - a^n b^n + b^{2n})}{(a^n + b^n)^2} = \frac{a^{2n} - a^n b^n + b^{2n}}{a^n + b^n}\);
12) \(\frac{a^{3n} - b^{3n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} = \frac{(a^n - b^n)(a^{2n} + a^n b^n + b^{2n})}{(a^n - b^n)^2} = \frac{a^{2n} + a^n b^n + b^{2n}}{a^n - b^n}\);
13) \(\frac{m^{2n} - p^{2n}}{m^{3n} - p^{3n}} = \frac{(m^n - p^n)(m^n + p^n)}{(m^n - p^n)(m^{2n} + m^n p^n + p^{2n})} = \frac{m^n + p^n}{m^{2n} + m^n p^n + p^{2n}}\);
14) \(\frac{m^{3n} + p^{3n}}{m^{2n} - p^{2n}} = \frac{(m^n + p^n)(m^{2n} - m^n p^n + p^{2n})}{(m^n - p^n)(m^n + p^n)} = \frac{m^{2n} - m^n p^n + p^{2n}}{m^n - p^n}\);
15) при \(a > 0\) модуль равен самому числу, \(|a| = a\), и \(\frac{3|a|}{a} = \frac{3a}{a} = 3\); при \(a < 0\) модуль равен противоположному числу, \(|a| = -a\), и \(\frac{3|a|}{a} = \frac{-3a}{a} = -3\);
16) при \(a > 0\): \(\frac{a}{2|a|} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\); при \(a < 0\): \(\frac{a}{2|a|} = \frac{a}{-2a} = -\frac{1}{2}\);
17) квадрат числа равен квадрату его модуля, \((a - 1)^2 = |a - 1|^2\), поэтому \(\frac{|a - 1|}{(a - 1)^2} = \frac{|a - 1|}{|a - 1|^2} = \frac{1}{|a - 1|}\);
18) \((a + 1)^2 = |a + 1|^2\), поэтому \(\frac{(a + 1)^2}{|a + 1|} = \frac{|a + 1|^2}{|a + 1|} = |a + 1|\).

Каждое из полученных равенств верно при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл.

Ответ: 1) \(\frac{1}{6xy}\); 2) \(\frac{2a}{3b^2}\); 3) \(\frac{x - 2y}{4}\); 4) \(\frac{5}{x - 3y}\); 5) \(\frac{0{,}2a - 3b}{0{,}2a + 3b}\); 6) \(\frac{0{,}3b - 2a}{0{,}3b + 2a}\); 7) \(\frac{a + 4}{a^2 + 4a + 16}\); 8) \(\frac{4b^2 + 10b + 25}{2b + 5}\); 9) \(\frac{x^n + y^n}{x^n - y^n}\); 10) \(\frac{a^n + b^n}{a^n - b^n}\); 11) \(\frac{a^{2n} - a^n b^n + b^{2n}}{a^n + b^n}\); 12) \(\frac{a^{2n} + a^n b^n + b^{2n}}{a^n - b^n}\); 13) \(\frac{m^n + p^n}{m^{2n} + m^n p^n + p^{2n}}\); 14) \(\frac{m^{2n} - m^n p^n + p^{2n}}{m^n - p^n}\); 15) 3 при \(a > 0\) и \(-3\) при \(a < 0\); 16) \(\frac{1}{2}\) при \(a > 0\) и \(-\frac{1}{2}\) при \(a < 0\); 17) \(\frac{1}{|a - 1|}\); 18) \(|a + 1|\).