Страница 40 номер 2.3.13, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выполнив действие, сократить полученную дробь: 1) \(\frac{a^2 b - ab^2}{4c^2} \cdot \frac{12c^3}{a^2 b(a^2 - b^2)}\); 2) \(\frac{x^3 y - xy^3}{15z^3} \cdot \frac{45z^5}{xy^2 (x + y)}\); 3) \(\frac{4x + 6y}{(2x - 3y)^2} : \frac{2}{9y^2 - 4x^2}\); 4) \(\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{8a^2 b} : \frac{4a^2 - b^2}{12ab^2}\).
1) \[\begin{aligned} &\frac{a^2 b - ab^2}{4c^2} \cdot \frac{12c^3}{a^2 b\left(a^2 - b^2\right)} = \frac{ab(a - b) \cdot 12c^3}{4c^2 \cdot a^2 b(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{3c}{a(a + b)}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{x^3 y - xy^3}{15z^3} \cdot \frac{45z^5}{xy^2 (x + y)} = \frac{xy(x - y)(x + y) \cdot 45z^5}{15z^3 \cdot xy^2 (x + y)} = {} \\ &= \frac{3z^2 (x - y)}{y}. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{4x + 6y}{(2x - 3y)^2} : \frac{2}{9y^2 - 4x^2} = \frac{2(2x + 3y)}{(2x - 3y)^2} \cdot \frac{(3y - 2x)(3y + 2x)}{2} = {} \\ &= \frac{2(2x + 3y) \cdot (-(2x - 3y))(2x + 3y)}{2(2x - 3y)^2} = -\frac{(2x + 3y)^2}{2x - 3y}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{8a^2 b} : \frac{4a^2 - b^2}{12ab^2} = \frac{(2a - b)^2}{8a^2 b} \cdot \frac{12ab^2}{(2a - b)(2a + b)} = {} \\ &= \frac{12ab^2 (2a - b)}{8a^2 b(2a + b)} = \frac{3b(2a - b)}{2a(2a + b)}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{3c}{a(a + b)}\); 2) \(\frac{3z^2 (x - y)}{y}\); 3) \(-\frac{(2x + 3y)^2}{2x - 3y}\); 4) \(\frac{3b(2a - b)}{2a(2a + b)}\).
Выполнив действие, сократить полученную дробь: 1) \(\frac{a^2 b - ab^2}{4c^2} \cdot \frac{12c^3}{a^2 b(a^2 - b^2)}\); 2) \(\frac{x^3 y - xy^3}{15z^3} \cdot \frac{45z^5}{xy^2 (x + y)}\); 3) \(\frac{4x + 6y}{(2x - 3y)^2} : \frac{2}{9y^2 - 4x^2}\); 4) \(\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{8a^2 b} : \frac{4a^2 - b^2}{12ab^2}\).
Числитель и знаменатель каждой дроби раскладываем на множители, после чего полученную дробь сокращаем.
1) \[\begin{aligned} &\frac{a^2 b - ab^2}{4c^2} \cdot \frac{12c^3}{a^2 b\left(a^2 - b^2\right)} = \frac{ab(a - b) \cdot 12c^3}{4c^2 \cdot a^2 b(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{3c}{a(a + b)}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{x^3 y - xy^3}{15z^3} \cdot \frac{45z^5}{xy^2 (x + y)} = \frac{xy(x - y)(x + y) \cdot 45z^5}{15z^3 \cdot xy^2 (x + y)} = {} \\ &= \frac{3z^2 (x - y)}{y}. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{4x + 6y}{(2x - 3y)^2} : \frac{2}{9y^2 - 4x^2} = \frac{2(2x + 3y)}{(2x - 3y)^2} \cdot \frac{(3y - 2x)(3y + 2x)}{2} = {} \\ &= \frac{2(2x + 3y) \cdot (-(2x - 3y))(2x + 3y)}{2(2x - 3y)^2} = -\frac{(2x + 3y)^2}{2x - 3y}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{8a^2 b} : \frac{4a^2 - b^2}{12ab^2} = \frac{(2a - b)^2}{8a^2 b} \cdot \frac{12ab^2}{(2a - b)(2a + b)} = {} \\ &= \frac{12ab^2 (2a - b)}{8a^2 b(2a + b)} = \frac{3b(2a - b)}{2a(2a + b)}. \end{aligned}\]
Каждое из этих равенств верно при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл.
Ответ: 1) \(\frac{3c}{a(a + b)}\); 2) \(\frac{3z^2 (x - y)}{y}\); 3) \(-\frac{(2x + 3y)^2}{2x - 3y}\); 4) \(\frac{3b(2a - b)}{2a(2a + b)}\).
