Страница 37 номер 2.2.62, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители (2.2.60—2.2.62): 1) \(5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3}\); 2) \(2^{4n+4} + 2^{4n+3} + 2^{4n+2} + 2^{4n+1} - 5^{n+3} - 5^{n+2}\); 3) \(7^{2n} - (5 - \pi) \cdot 7^n - 5\pi\); 4) \(5^{2n} - 5^n \cdot 3^{n+1} - 4 \cdot 3^{2n}\); 5) \(5^{2n} - 5^{n+1} \cdot 3^n + 4 \cdot 3^{2n}\).
1) \[\begin{aligned} &5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3} = {} \\ &= 5^n(1 + 5 + 5^2) + 3^n(1 + 3 + 3^3) = 5^n \cdot 31 + 3^n \cdot 31 = {} \\ &= 31(5^n + 3^n); \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &2^{4n+4} + 2^{4n+3} + 2^{4n+2} + 2^{4n+1} - 5^{n+3} - 5^{n+2} = {} \\ &= 2^{4n}(2^4 + 2^3 + 2^2 + 2) - 5^n(5^3 + 5^2) = {} \\ &= 2^{4n} \cdot 30 - 5^n \cdot 150 = 30(2^{4n} - 5 \cdot 5^n) = 30(2^{4n} - 5^{n+1}). \end{aligned}\]
В пунктах 3)—5) средний член разбиваем на два слагаемых и группируем.
3) \[\begin{aligned} &7^{2n} - (5 - \pi) \cdot 7^n - 5\pi = 7^n \cdot 7^n - 5 \cdot 7^n + \pi \cdot 7^n - 5\pi = {} \\ &= 7^n(7^n - 5) + \pi(7^n - 5) = (7^n - 5)(7^n + \pi); \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &5^{2n} - 5^n \cdot 3^{n+1} - 4 \cdot 3^{2n} = 5^n \cdot 5^n - 3 \cdot 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n \cdot 5^n + 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n(5^n + 3^n) - 4 \cdot 3^n(5^n + 3^n) = (5^n + 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n); \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &5^{2n} - 5^{n+1} \cdot 3^n + 4 \cdot 3^{2n} = 5^n \cdot 5^n - 5 \cdot 5^n \cdot 3^n + 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n \cdot 5^n - 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 5^n \cdot 3^n + 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n(5^n - 3^n) - 4 \cdot 3^n(5^n - 3^n) = (5^n - 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(31(5^n + 3^n)\); 2) \(30(2^{4n} - 5^{n+1})\); 3) \((7^n - 5)(7^n + \pi)\); 4) \((5^n + 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n)\); 5) \((5^n - 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n)\).
Разложить на множители (2.2.60—2.2.62): 1) \(5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3}\); 2) \(2^{4n+4} + 2^{4n+3} + 2^{4n+2} + 2^{4n+1} - 5^{n+3} - 5^{n+2}\); 3) \(7^{2n} - (5 - \pi) \cdot 7^n - 5\pi\); 4) \(5^{2n} - 5^n \cdot 3^{n+1} - 4 \cdot 3^{2n}\); 5) \(5^{2n} - 5^{n+1} \cdot 3^n + 4 \cdot 3^{2n}\).
Всюду пользуемся правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями: \(a^{m + k} = a^m \cdot a^k\).
1) \[\begin{aligned} &5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3} = {} \\ &= 5^n(1 + 5 + 5^2) + 3^n(1 + 3 + 3^3) = 5^n \cdot 31 + 3^n \cdot 31 = {} \\ &= 31(5^n + 3^n); \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &2^{4n+4} + 2^{4n+3} + 2^{4n+2} + 2^{4n+1} - 5^{n+3} - 5^{n+2} = {} \\ &= 2^{4n}(2^4 + 2^3 + 2^2 + 2) - 5^n(5^3 + 5^2) = {} \\ &= 2^{4n} \cdot 30 - 5^n \cdot 150 = 30(2^{4n} - 5 \cdot 5^n) = 30(2^{4n} - 5^{n+1}). \end{aligned}\]
В пунктах 3)—5) представим средний член в виде суммы двух слагаемых и применим способ группировки.
3) \[\begin{aligned} &7^{2n} - (5 - \pi) \cdot 7^n - 5\pi = 7^n \cdot 7^n - 5 \cdot 7^n + \pi \cdot 7^n - 5\pi = {} \\ &= 7^n(7^n - 5) + \pi(7^n - 5) = (7^n - 5)(7^n + \pi); \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &5^{2n} - 5^n \cdot 3^{n+1} - 4 \cdot 3^{2n} = 5^n \cdot 5^n - 3 \cdot 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n \cdot 5^n + 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n(5^n + 3^n) - 4 \cdot 3^n(5^n + 3^n) = (5^n + 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n); \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &5^{2n} - 5^{n+1} \cdot 3^n + 4 \cdot 3^{2n} = 5^n \cdot 5^n - 5 \cdot 5^n \cdot 3^n + 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n \cdot 5^n - 5^n \cdot 3^n - 4 \cdot 5^n \cdot 3^n + 4 \cdot 3^n \cdot 3^n = {} \\ &= 5^n(5^n - 3^n) - 4 \cdot 3^n(5^n - 3^n) = (5^n - 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(31(5^n + 3^n)\); 2) \(30(2^{4n} - 5^{n+1})\); 3) \((7^n - 5)(7^n + \pi)\); 4) \((5^n + 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n)\); 5) \((5^n - 3^n)(5^n - 4 \cdot 3^n)\).
