Страница 36 номер 2.2.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить выражение: 1) \((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)\); 2) \((a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\); 3) \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\); 4) \((x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32)\).
1) \((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1\);
2) \((a - b)(a + b)(a^2 + b^2) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4\);
3) \[\begin{aligned} &(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = {} \\ &= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = x^8 - y^8. \end{aligned}\]
4) С множителем \(x^8 + 32\) разности квадратов уже не получается — два оставшихся двучлена перемножаются почленно:
\[\begin{aligned} &(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = {} \\ &= (x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = (x^4 - 16)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = {} \\ &= (x^8 - 256)(x^8 + 32) = x^{16} + 32x^8 - 256x^8 - 8192 = {} \\ &= x^{16} - 224x^8 - 8192. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^4 - 1\); 2) \(a^4 - b^4\); 3) \(x^8 - y^8\); 4) \(x^{16} - 224x^8 - 8192\).
Упростить выражение: 1) \((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)\); 2) \((a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\); 3) \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\); 4) \((x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32)\).
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений, поэтому в каждом произведении первые два множителя дают разность квадратов, и та же формула применяется к результату снова.
1) \((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1\);
2) \((a - b)(a + b)(a^2 + b^2) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4\);
3) \[\begin{aligned} &(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = {} \\ &= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = x^8 - y^8. \end{aligned}\]
4) Формула разности квадратов применяется три раза подряд, а с последним множителем \(x^8 + 32\) разности квадратов уже не получается — два оставшихся двучлена перемножаются почленно:
\[\begin{aligned} &(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = {} \\ &= (x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = (x^4 - 16)(x^4 + 16)(x^8 + 32) = {} \\ &= (x^8 - 256)(x^8 + 32) = x^{16} + 32x^8 - 256x^8 - 8192 = {} \\ &= x^{16} - 224x^8 - 8192. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^4 - 1\); 2) \(a^4 - b^4\); 3) \(x^8 - y^8\); 4) \(x^{16} - 224x^8 - 8192\).
