7класс

Страница 20 номер 1.3.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§1. Числовые выражения. 1.3. Корни. Страница 20. Номер 1.3.16

Задание / условие:

Сравнить произведения: 1) \(\sqrt{\frac{13}{11}} \cdot \sqrt{\frac{17}{19}}\) и \(\sqrt{\frac{17}{11}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\); 2) \(\sqrt{\frac{7}{23}} \cdot \sqrt{\frac{11}{29}}\) и \(\sqrt{\frac{11}{23}} \cdot \sqrt{\frac{7}{29}}\); 3) \(\sqrt{\frac{11}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{22}}\) и \(\sqrt{\frac{13}{27}} \cdot \sqrt{\frac{1}{39}}\); 4) \(\sqrt{\frac{17}{135}} \cdot \sqrt{\frac{1}{51}}\) и \(\sqrt{\frac{19}{40}} \cdot \sqrt{\frac{1}{38}}\).

Решение:

1) \(\sqrt{\frac{13}{11}} \cdot \sqrt{\frac{17}{19}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 17}{11 \cdot 19}} = \sqrt{\frac{221}{209}}\) и \(\sqrt{\frac{17}{11}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{11 \cdot 19}} = \sqrt{\frac{221}{209}}\); подкоренные выражения одинаковы, значит, произведения равны;

2) \(\sqrt{\frac{7}{23}} \cdot \sqrt{\frac{11}{29}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 11}{23 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{77}{667}}\) и \(\sqrt{\frac{11}{23}} \cdot \sqrt{\frac{7}{29}} = \sqrt{\frac{11 \cdot 7}{23 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{77}{667}}\); подкоренные выражения одинаковы, значит, произведения равны;

3) \(\sqrt{\frac{11}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{22}} = \sqrt{\frac{11}{8 \cdot 22}} = \sqrt{\frac{11}{11 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\) и \(\sqrt{\frac{13}{27}} \cdot \sqrt{\frac{1}{39}} = \sqrt{\frac{13}{27 \cdot 39}} = \sqrt{\frac{13}{13 \cdot 81}} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}\); так как \(\frac{1}{4} > \frac{1}{9}\), первое произведение больше;

4) \(\sqrt{\frac{17}{135}} \cdot \sqrt{\frac{1}{51}} = \sqrt{\frac{17}{135 \cdot 51}} = \sqrt{\frac{17}{17 \cdot 405}} = \sqrt{\frac{1}{405}}\) и \(\sqrt{\frac{19}{40}} \cdot \sqrt{\frac{1}{38}} = \sqrt{\frac{19}{40 \cdot 38}} = \sqrt{\frac{19}{19 \cdot 80}} = \sqrt{\frac{1}{80}}\); так как \(\frac{1}{405} < \frac{1}{80}\), первое произведение меньше.

Ответ: 1) \(\sqrt{\frac{13}{11}} \cdot \sqrt{\frac{17}{19}} = \sqrt{\frac{17}{11}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\); 2) \(\sqrt{\frac{7}{23}} \cdot \sqrt{\frac{11}{29}} = \sqrt{\frac{11}{23}} \cdot \sqrt{\frac{7}{29}}\); 3) \(\sqrt{\frac{11}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{22}} > \sqrt{\frac{13}{27}} \cdot \sqrt{\frac{1}{39}}\); 4) \(\sqrt{\frac{17}{135}} \cdot \sqrt{\frac{1}{51}} < \sqrt{\frac{19}{40}} \cdot \sqrt{\frac{1}{38}}\).

Задание / условие:

Решение:

Каждое произведение заменяем корнем из произведения подкоренных выражений: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Из двух корней больше тот, у которого больше подкоренное выражение.

1) \(\sqrt{\frac{13}{11}} \cdot \sqrt{\frac{17}{19}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 17}{11 \cdot 19}} = \sqrt{\frac{221}{209}}\) и \(\sqrt{\frac{17}{11}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 13}{11 \cdot 19}} = \sqrt{\frac{221}{209}}\). Подкоренные выражения одинаковы, поэтому \(\sqrt{\frac{13}{11}} \cdot \sqrt{\frac{17}{19}} = \sqrt{\frac{17}{11}} \cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\).

2) \(\sqrt{\frac{7}{23}} \cdot \sqrt{\frac{11}{29}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 11}{23 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{77}{667}}\) и \(\sqrt{\frac{11}{23}} \cdot \sqrt{\frac{7}{29}} = \sqrt{\frac{11 \cdot 7}{23 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{77}{667}}\). Подкоренные выражения одинаковы, поэтому \(\sqrt{\frac{7}{23}} \cdot \sqrt{\frac{11}{29}} = \sqrt{\frac{11}{23}} \cdot \sqrt{\frac{7}{29}}\).

3) \(\sqrt{\frac{11}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{22}} = \sqrt{\frac{11}{8 \cdot 22}} = \sqrt{\frac{11}{11 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\) и \(\sqrt{\frac{13}{27}} \cdot \sqrt{\frac{1}{39}} = \sqrt{\frac{13}{27 \cdot 39}} = \sqrt{\frac{13}{13 \cdot 81}} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}\). Так как \(\frac{1}{4} > \frac{1}{9}\), то \(\sqrt{\frac{11}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{22}} > \sqrt{\frac{13}{27}} \cdot \sqrt{\frac{1}{39}}\).

4) \(\sqrt{\frac{17}{135}} \cdot \sqrt{\frac{1}{51}} = \sqrt{\frac{17}{135 \cdot 51}} = \sqrt{\frac{17}{17 \cdot 405}} = \sqrt{\frac{1}{405}}\) и \(\sqrt{\frac{19}{40}} \cdot \sqrt{\frac{1}{38}} = \sqrt{\frac{19}{40 \cdot 38}} = \sqrt{\frac{19}{19 \cdot 80}} = \sqrt{\frac{1}{80}}\). Так как \(\frac{1}{405} < \frac{1}{80}\), то \(\sqrt{\frac{17}{135}} \cdot \sqrt{\frac{1}{51}} < \sqrt{\frac{19}{40}} \cdot \sqrt{\frac{1}{38}}\).