Страница 161 номер 944, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В трёхзначном числе первую цифру переставили в конец. Оно уменьшилось на 369. Каким из данных чисел может быть равно исходное число:
1) 542; 2) 485; 3) 511; 4) 736?
Пусть \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\); после перестановки первой цифры в конец получится \(\overline{bca} = 100b + 10c + a\).
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 369.\]
\[99a - 90b - 9c = 369; \qquad 11a - 10b - c = 41.\]
1) \(542\): \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 4 - 2 = 55 - 40 - 2 = 13\), а нужно 41; \(542 - 425 = 117\).
2) \(485\): \(11 \cdot 4 - 10 \cdot 8 - 5 = 44 - 80 - 5 = -41\), а нужно 41; \(854 - 485 = 369\) — число увеличилось, а не уменьшилось.
3) \(511\): \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 1 - 1 = 55 - 10 - 1 = 44\), а нужно 41; \(511 - 115 = 396\).
4) \(736\): \(11 \cdot 7 - 10 \cdot 3 - 6 = 77 - 30 - 6 = 41\) — равенство выполнено; \(736 - 367 = 369\).
Значит, исходное число может быть равно только 736.
Ответ: 736.
В трёхзначном числе первую цифру переставили в конец. Оно уменьшилось на 369. Каким из данных чисел может быть равно исходное число:
1) 542; 2) 485; 3) 511; 4) 736?
Обозначим исходное число через \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — цифры и \(a \neq 0\). Если первую цифру переставить в конец, получится число \(\overline{bca} = 100b + 10c + a\).
По условию новое число меньше исходного на 369:
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 369.\]
Приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 9:
\[99a - 90b - 9c = 369; \qquad 11a - 10b - c = 41.\]
Проверим каждое из данных чисел.
1) У числа 542 цифры \(a = 5\), \(b = 4\), \(c = 2\), и \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 4 - 2 = 55 - 40 - 2 = 13\), а требуется 41. Действительно, после перестановки первой цифры в конец получится число 425, и \(542 - 425 = 117\).
2) У числа 485 цифры \(a = 4\), \(b = 8\), \(c = 5\), и \(11 \cdot 4 - 10 \cdot 8 - 5 = 44 - 80 - 5 = -41\), а требуется 41. После перестановки получится число 854, которое больше исходного: \(854 - 485 = 369\), то есть число не уменьшилось, а увеличилось на 369.
3) У числа 511 цифры \(a = 5\), \(b = 1\), \(c = 1\), и \(11 \cdot 5 - 10 \cdot 1 - 1 = 55 - 10 - 1 = 44\), а требуется 41. После перестановки получится число 115, и \(511 - 115 = 396\).
4) У числа 736 цифры \(a = 7\), \(b = 3\), \(c = 6\), и \(11 \cdot 7 - 10 \cdot 3 - 6 = 77 - 30 - 6 = 41\) — равенство выполнено. После перестановки получится число 367, и \(736 - 367 = 369\).
Значит, исходное число может быть равно только 736.
Ответ: 736.
