Страница 149 номер 878, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1\).
Умножим сумму на \(2 - 1\): от умножения на 1 значение не изменится, а произведение свернётся по формуле разности \(n\)-х степеней.
\[\begin{aligned} &2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1 = (2 - 1)(2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1) = {} \\ &= 2^{10} - 1^{10} = 1024 - 1 = 1023. \end{aligned}\]
Ответ: 1023.
Найдите значение выражения \(2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1\).
Умножим данную сумму на \(2 - 1\): от умножения на 1 значение суммы не изменится, зато произведение свернётся по формуле разности \(n\)-х степеней \(a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\).
Подставим в неё \(a = 2\), \(b = 1\) и \(n = 10\): все степени единицы равны 1, поэтому второй множитель формулы и есть данная сумма.
\[\begin{aligned} &2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1 = (2 - 1)(2^9 + 2^8 + \ldots + 2 + 1) = {} \\ &= 2^{10} - 1^{10} = 1024 - 1 = 1023. \end{aligned}\]
Ответ: 1023.
