Страница 246 номер 1436, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(7 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\). Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
\[\begin{aligned} &7 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 7 \cdot \frac{5^4}{7^4} \cdot \frac{1}{5^2} = {} \\ &= \frac{7 \cdot 5^4}{7^4 \cdot 5^2} = \frac{5^2}{7^3} = \frac{25}{343}. \end{aligned}\]
\(\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25\) — степени пятёрки в числителе и знаменателе.
\(\frac{7}{7^4} = \frac{7}{7 \cdot 7^3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}\) — степени семёрки.
Ответ: \(\frac{25}{343}\).
Найдите значение выражения \(7 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\). Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Дробь возводится в степень по числителю и знаменателю, поэтому \(\left(\frac{5}{7}\right)^4 = \frac{5^4}{7^4}\), а \(\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{5^2}\).
\[\begin{aligned} &7 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 7 \cdot \frac{5^4}{7^4} \cdot \frac{1}{5^2} = {} \\ &= \frac{7 \cdot 5^4}{7^4 \cdot 5^2} = \frac{5^2}{7^3} = \frac{25}{343}. \end{aligned}\]
У степеней пятёрки показатель делимого больше, поэтому показатели вычитаются: \(\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25\). У степеней семёрки больше показатель делителя, поэтому числитель и знаменатель делятся на 7: \(\frac{7}{7^4} = \frac{7}{7 \cdot 7^3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}\).
Ответ: \(\frac{25}{343}\).
