Контрольные вопросы и задания на странице 78, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
1. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения.
2. Что в алгебре подразумевают под буквами?
3. Приведите примеры числовых выражений и выражений с переменной.
4. Какие слагаемые называют подобными?
5. Что называют корнем уравнения?
6. Что значит решить уравнение?
7. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры линейных уравнений.
8. Какие уравнения называются равносильными?
9. Приведите пример уравнения с параметром.
10. Что называется модулем числа?
Для любых чисел \(a\), \(b\) и \(c\):
переместительный закон сложения \(a + b = b + a\) — от перестановки слагаемых сумма не меняется;
сочетательный закон сложения \((a + b) + c = a + (b + c)\) — слагаемые можно объединять в группы;
переместительный закон умножения \(a \cdot b = b \cdot a\) — от перестановки множителей произведение не меняется;
сочетательный закон умножения \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) — множители можно объединять в группы;
распределительный закон умножения относительно сложения \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
Ответ: \(a + b = b + a\); \((a + b) + c = a + (b + c)\); \(a \cdot b = b \cdot a\); \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\); \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
В алгебре буквами обозначают числа.
Буква может обозначать переменную — величину, принимающую различные числовые значения (\(a\) и \(b\) в выражении \(3a + b\)); неизвестную величину, которую требуется найти (\(x\) в уравнении \(2x - 8 = 0\)); параметр — число, меняющееся от задачи к задаче (\(a\) и \(b\) в уравнении \(ax + b = 0\)).
Буквами записывают и правила, верные для любых чисел, например \(a + b = b + a\).
Ответ: буквами в алгебре обозначают числа — переменные, неизвестные величины, параметры, а также произвольные числа при записи общих правил.
Числовое выражение состоит из чисел, знаков арифметических действий и скобок:
\[7; \quad 7 + 1; \quad (7 + 1) \cdot 4; \quad 0{,}33 - (7 + 1) \cdot 4.\]
Выражение с переменной состоит из чисел, переменных, знаков арифметических действий и скобок:
\[3a + b; \quad a(a - 2b); \quad (3m - n) : (a + b).\]
Ответ: числовые выражения — \(7 + 1\), \((7 + 1) \cdot 4\); выражения с переменной — \(3a + b\), \(a(a - 2b)\), \((3m - n) : (a + b)\).
Подобными называют слагаемые, буквенные части которых одинаковы; числовой множитель слагаемого называют его коэффициентом.
Например, в выражении \(7n + 3mnk - 3n - 6mnk - 4n\) подобны \(7n\), \(-3n\) и \(-4n\) (буквенная часть \(n\)), а также \(3mnk\) и \(-6mnk\) (буквенная часть \(mnk\)).
Ответ: подобные слагаемые — это слагаемые, у которых одинаковые буквенные части.
Корнем (решением) уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Например, 4 — корень уравнения \(2x - 8 = 0\), потому что равенство \(2 \cdot 4 - 8 = 0\) верное, а 0 корнем не является.
Ответ: корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при подстановке которых получается верное числовое равенство, или доказать, что таких значений нет.
Например, у уравнения \(5x + 8 = 4x + 1 + x\) корней нет: после переноса слагаемых получается равенство \(0 = -7\), неверное при любом значении \(x\).
Ответ: решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида \(ax + b = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа, причём \(a \neq 0\); его единственный корень \(x = -\frac{b}{a}\).
Примеры: \(35x - 7 = 0\) (корень \(x = 0{,}2\)); \(2x - 8 = 0\) (корень \(x = 4\)); \(-0{,}5x + 3 = 0\) (корень \(x = 6\)).
Ответ: линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида \(ax + b = 0\), где \(a \neq 0\); например, \(35x - 7 = 0\) и \(2x - 8 = 0\).
Равносильными называются уравнения, у которых один и тот же набор корней.
Действие, после которого получается уравнение, равносильное исходному, называют равносильным преобразованием: преобразование левой или правой части уравнения, перестановка левой и правой частей, прибавление к обеим частям одного и того же выражения (в частности, перенос слагаемого в другую часть с противоположным знаком), умножение или деление обеих частей на число, не равное нулю.
Например, уравнения \(35x - 7 = 0\), \(35x = 7\) и \(x = 0{,}2\) равносильны — у каждого единственный корень \(0{,}2\).
Ответ: равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же набором корней.
Уравнениями с параметрами называют уравнения, в которых один или несколько коэффициентов зависят от других переменных.
Пример: \(ax - 5 = 3a\), где \(x\) — переменная, а \(a\) — параметр, то есть число из условия, меняющееся от задачи к задаче: при \(a = 1\) получается уравнение \(x - 5 = 3\), а при \(a = 2\) — уравнение \(2x - 5 = 6\).
Ответ: например, \(ax - 5 = 3a\) — уравнение с переменной \(x\) и параметром \(a\).
Модулем числа называется расстояние на числовой прямой от начала отсчёта до точки, соответствующей этому числу; модуль числа \(a\) обозначают \(|a|\).
Отсюда \(|a| = a\) при \(a > 0\), \(|a| = 0\) при \(a = 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\), например \(|-7| = 7\). Модуль любого числа неотрицателен: \(|a| \geqslant 0\).
Ответ: модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки числовой прямой, соответствующей этому числу; \(|a| = a\) при \(a \geqslant 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\).
1. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения.
2. Что в алгебре подразумевают под буквами?
3. Приведите примеры числовых выражений и выражений с переменной.
4. Какие слагаемые называют подобными?
5. Что называют корнем уравнения?
6. Что значит решить уравнение?
7. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры линейных уравнений.
8. Какие уравнения называются равносильными?
9. Приведите пример уравнения с параметром.
10. Что называется модулем числа?
Переместительный закон сложения: для любых чисел \(a\) и \(b\) справедливо равенство \(a + b = b + a\) — от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Сочетательный закон сложения: для любых чисел \(a\), \(b\) и \(c\) справедливо равенство \((a + b) + c = a + (b + c)\) — слагаемые можно объединять в группы.
Переместительный закон умножения: для любых чисел \(a\) и \(b\) справедливо равенство \(a \cdot b = b \cdot a\) — от перестановки множителей произведение не меняется.
Сочетательный закон умножения: для любых чисел \(a\), \(b\) и \(c\) справедливо равенство \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) — множители можно объединять в группы.
Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых чисел \(a\), \(b\) и \(c\) справедливо равенство \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
Эти законы позволяют считать удобным способом: например, \(4 \cdot 975 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 975 = 97\,500\).
Ответ: \(a + b = b + a\); \((a + b) + c = a + (b + c)\); \(a \cdot b = b \cdot a\); \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\); \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\).
В алгебре буквами обозначают числа.
Буква может обозначать переменную — величину, которая принимает различные числовые значения: в выражении \(3a + b\) буквы \(a\) и \(b\) — переменные, и при \(a = 2\), \(b = 1\) значение этого выражения равно 7.
Буквой обозначают неизвестную величину, которую требуется найти: в уравнении \(2x - 8 = 0\) буква \(x\) — неизвестное число.
Буквой записывают и параметр — число, которое меняется от задачи к задаче: в уравнении \(ax + b = 0\) буквы \(a\) и \(b\) — параметры.
Наконец, буквами записывают правила, верные для любых чисел, — например, переместительный закон сложения \(a + b = b + a\).
Ответ: буквами в алгебре обозначают числа — переменные, неизвестные величины, параметры, а также произвольные числа при записи общих правил.
Числовое выражение — это запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Примеры числовых выражений:
\[7; \quad 7 + 1; \quad (7 + 1) \cdot 4; \quad 0{,}33 - (7 + 1) \cdot 4.\]
Выражение с переменной (буквенное выражение) — это запись, состоящая из чисел, переменных, знаков арифметических действий и скобок. Примеры выражений с переменной:
\[3a + b; \quad a(a - 2b); \quad (3m - n) : (a + b).\]
Значение числового выражения — одно определённое число, а значение выражения с переменной зависит от того, какие числа подставлены вместо букв.
Ответ: числовые выражения — \(7 + 1\), \((7 + 1) \cdot 4\); выражения с переменной — \(3a + b\), \(a(a - 2b)\), \((3m - n) : (a + b)\).
Подобными называют слагаемые, буквенные части которых одинаковы. Числовой множитель слагаемого называют его коэффициентом.
Например, в выражении \(7n + 3mnk - 3n - 6mnk - 4n\) подобны слагаемые \(7n\), \(-3n\) и \(-4n\) (буквенная часть \(n\)), а также \(3mnk\) и \(-6mnk\) (буквенная часть \(mnk\)).
Замену суммы подобных слагаемых одним слагаемым называют приведением подобных слагаемых: сумма подобных слагаемых равна произведению суммы их коэффициентов и буквенной части, например \(3mnk - 6mnk = (3 - 6)mnk = -3mnk\).
Ответ: подобные слагаемые — это слагаемые, у которых одинаковые буквенные части.
Корнем (решением) уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Например, число 4 — корень уравнения \(2x - 8 = 0\), потому что \(2 \cdot 4 - 8 = 0\) — верное числовое равенство. Число 0 корнем этого уравнения не является: равенство \(2 \cdot 0 - 8 = 0\) неверно.
Ответ: корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство, или доказать, что таких значений нет.
Поэтому недостаточно найти одно подходящее число: нужно быть уверенным, что найдены все корни. Например, у уравнения \(5x + 8 = 4x + 1 + x\) корней нет вовсе — после переноса слагаемых получается равенство \(0 = -7\), неверное при любом значении \(x\).
Ответ: решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида \(ax + b = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа, причём \(a \neq 0\).
Любое линейное уравнение имеет единственный корень \(x = -\frac{b}{a}\).
Примеры линейных уравнений: \(35x - 7 = 0\) (здесь \(a = 35\), \(b = -7\), корень \(x = 0{,}2\)); \(2x - 8 = 0\) (корень \(x = 4\)); \(-0{,}5x + 3 = 0\) (корень \(x = 6\)).
Ответ: линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида \(ax + b = 0\), где \(a \neq 0\); например, \(35x - 7 = 0\) и \(2x - 8 = 0\).
Равносильными называются уравнения, у которых один и тот же набор корней.
Действие, после которого получается уравнение, равносильное исходному, называют равносильным преобразованием. Основные равносильные преобразования: преобразование левой или правой части уравнения (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя за скобки, приведение дробей к общему знаменателю); перестановка левой и правой частей; прибавление к обеим частям одного и того же выражения — в частности, перенос слагаемого в другую часть с противоположным знаком; умножение или деление обеих частей на число, не равное нулю.
Например, уравнения \(35x - 7 = 0\), \(35x = 7\) и \(x = 0{,}2\) равносильны: у каждого из них единственный корень \(0{,}2\).
Ответ: равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же набором корней.
Уравнениями с параметрами называют уравнения, в которых один или несколько коэффициентов зависят от других переменных.
Пример уравнения с параметром: \(ax - 5 = 3a\). Здесь \(x\) — переменная, значение которой является корнем уравнения, а \(a\) — параметр, то есть число из условия, меняющееся от задачи к задаче: при \(a = 1\) получается уравнение \(x - 5 = 3\), а при \(a = 2\) — уравнение \(2x - 5 = 6\).
Ещё один пример — уравнение \(ax + b = 0\) с двумя параметрами \(a\) и \(b\). Оно имеет единственный корень \(x = -\frac{b}{a}\) при \(a \neq 0\); при \(a = 0\) и \(b = 0\) его корнем является любое число; при \(a = 0\) и \(b \neq 0\) корней нет.
Ответ: например, \(ax - 5 = 3a\) — уравнение с переменной \(x\) и параметром \(a\).
Модулем числа называется расстояние на числовой прямой от начала отсчёта до точки, соответствующей этому числу. Модуль числа \(a\) обозначают \(|a|\).
Из определения следует, что \(|a| = a\) при \(a > 0\), \(|a| = 0\) при \(a = 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\). Например, \(|7| = 7\), \(|-7| = 7\), \(|0| = 0\).
Модуль любого числа неотрицателен: \(|a| \geqslant 0\). Модули противоположных чисел равны: \(|a| = |-a|\).
Ответ: модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки числовой прямой, соответствующей этому числу; \(|a| = a\) при \(a \geqslant 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\).
