Вопросы после параграфа §1 на странице 11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения? 2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии? 3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость? 4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются? 5. Сформулируйте аксиомы А1, А2, А3, А4, А5, А6.
Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых уже известно. Значит, определения вводятся по принципу «новое основано на старом», и должны существовать понятия, с которых этот ряд начинается: им определений не дают. Такие первоначальные понятия называют основными понятиями.
Ответ: первоначальные понятия, которым не дают определения, называют основными понятиями.
В курсе планиметрии определений не давали точке и прямой. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям относят ещё одну фигуру — плоскость.
Ответ: точка, прямая и плоскость.
Говорят, что прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Если у прямой \(a\) и плоскости \(\alpha\) единственная общая точка — точка \(A\), то пишут: \(a \cap \alpha = A\).
Больше одной общей точки у такой прямой и плоскости быть не может: если две точки прямой принадлежат плоскости, то по аксиоме А4 и вся прямая принадлежит этой плоскости, а тогда общих точек бесконечно много и прямая не пересекает плоскость, а лежит в ней.
Ответ: прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку; записывают это так: \(a \cap \alpha = A\).
Говорят, что две плоскости пересекаются, если они имеют общую точку. По аксиоме А5 такие плоскости пересекаются по прямой. Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\), то пишут: \(\alpha \cap \beta = a\).
Ответ: плоскости называют пересекающимися, если они имеют общую точку; по аксиоме А5 такие плоскости пересекаются по прямой, и записывают это так: \(\alpha \cap \beta = a\).
Аксиома А1. Для любой плоскости пространства существует точка, ей не принадлежащая.
Аксиома А2. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Аксиома А3. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Аксиома А4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома А5. Если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой.
Аксиома А6. Расстояние между любыми двумя точками пространства одинаково для любой плоскости, проходящей через эти точки.
Аксиомы А3 и А4 работают вместе: точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость, а каждая из прямых \(AB\) и \(BC\) имеет в этой плоскости две точки и потому лежит в ней целиком.
Ответ: А1 — о существовании точки, не принадлежащей данной плоскости; А2 — о том, что в любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии; А3 — о единственной плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой; А4 — о прямой, две точки которой принадлежат плоскости; А5 — о том, что две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой; А6 — о расстоянии между двумя точками пространства.
1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения? 2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии? 3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость? 4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются? 5. Сформулируйте аксиомы А1, А2, А3, А4, А5, А6.
Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых уже известно. Например, определение трапеции («трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны») опирается на понятия четырёхугольника, его сторон, параллельных и непараллельных сторон. Значит, определения вводятся по принципу «новое основано на старом», и должны существовать понятия, с которых этот ряд начинается: им определений не дают. Такие первоначальные понятия называют основными понятиями.
Ответ: первоначальные понятия, которым не дают определения, называют основными понятиями.
В курсе планиметрии определений не давали точке и прямой. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям относят ещё одну фигуру — плоскость. Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоёма в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях. Плоскость, как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.
Ответ: точка, прямая и плоскость.
Говорят, что прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Если у прямой \(a\) и плоскости \(\alpha\) единственная общая точка — точка \(A\), то пишут: \(a \cap \alpha = A\).
Больше одной общей точки у такой прямой и плоскости быть не может: если две точки прямой принадлежат плоскости, то по аксиоме А4 и вся прямая принадлежит этой плоскости, а тогда общих точек бесконечно много и прямая не пересекает плоскость, а лежит в ней.
Ответ: прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку; записывают это так: \(a \cap \alpha = A\).
Говорят, что две плоскости пересекаются, если они имеют общую точку. По аксиоме А5, если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой. Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\), то пишут: \(\alpha \cap \beta = a\).
Ответ: плоскости называют пересекающимися, если они имеют общую точку; по аксиоме А5 такие плоскости пересекаются по прямой, и записывают это так: \(\alpha \cap \beta = a\).
Аксиома А1. Для любой плоскости пространства существует точка, ей не принадлежащая.
Аксиома А2. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Аксиома А3. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Аксиома А4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома А5. Если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой.
Аксиома А6. Расстояние между любыми двумя точками пространства одинаково для любой плоскости, проходящей через эти точки.
Аксиомы А3 и А4 работают вместе: точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость, а каждая из прямых \(AB\) и \(BC\) имеет в этой плоскости две точки и потому лежит в ней целиком.
Ответ: А1 — о существовании точки, не принадлежащей данной плоскости; А2 — о том, что в любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии; А3 — о единственной плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой; А4 — о прямой, две точки которой принадлежат плоскости; А5 — о том, что две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой; А6 — о расстоянии между двумя точками пространства.
