Номер 3, ГДЗ по геометрии за 10, 11 класс к учебнику Атанасяна

Тетраэдр называется каркасным, если существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.

Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:

а) суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны;

б) суммы двугранных углов при противоположных рёбрах тетраэдра равны;

в) окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга (это означает, что каждые две окружности, вписанные в грани тетраэдра с общим ребром, касаются этого ребра в одной и той же точке);

г) все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными;

д) четыре прямые, каждая из которых проходит через центр вписанной в грань тетраэдра окружности и перпендикулярна к этой грани, пересекаются в одной точке.