Страница 54 номер 86, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Нужно спаять из проволоки каркас куба, показанный на рисунке 47. На какое наименьшее число частей придётся разрезать проволоку?
Вершины каркаса буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины нижней грани, \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) — вершины верхней грани, причём \(E\) находится над \(A\), \(F\) — над \(B\), \(G\) — над \(C\), \(H\) — над \(D\).
Рёбра каркаса: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) (нижняя грань), \(EF\), \(FG\), \(GH\), \(HE\) (верхняя грань), \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) (вертикальные) — всего 12 рёбер, степень каждой вершины равна 3.
Каждый кусок проволоки идёт по рёбрам, не проходя ни одно ребро дважды, и имеет два конца. Кусок, который проходит через вершину насквозь, забирает концы рёбер парами: сколько рёбер он в вершине занял, входя, столько же занял и выходя. Поэтому, если бы в вершине не оканчивался ни один кусок, число рёбер при этой вершине было бы чётным, а оно равно 3. Значит, в каждой вершине оканчивается хотя бы один кусок.
Вершин восемь, поэтому концов кусков не меньше восьми, а у каждого куска ровно два конца: кусков не меньше \(8 : 2 = 4\).
Четырёх кусков достаточно: согнём их по путям \(EFBA\), \(FGCB\), \(GHDC\), \(HEAD\) — по рёбрам \(EF\), \(FB\), \(BA\); \(FG\), \(GC\), \(CB\); \(GH\), \(HD\), \(DC\); \(HE\), \(EA\), \(AD\). Всего это \(4 \cdot 3 = 12\) рёбер, и каждое ребро каркаса встречается ровно один раз.
Ответ: на 4 части.
Нужно спаять из проволоки каркас куба, показанный на рисунке 47. На какое наименьшее число частей придётся разрезать проволоку?
Вершины каркаса буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины нижней грани, \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) — вершины верхней грани, причём \(E\) находится над \(A\), \(F\) — над \(B\), \(G\) — над \(C\), \(H\) — над \(D\).
Рёбра каркаса: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) (нижняя грань), \(EF\), \(FG\), \(GH\), \(HE\) (верхняя грань), \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) (вертикальные) — всего 12 рёбер. В каждой вершине сходятся три ребра, поэтому степень каждой вершины равна 3.
Каждый кусок проволоки, согнутый и припаянный по каркасу, идёт по рёбрам, не проходя ни одно ребро дважды, и имеет два конца.
Посмотрим на любую вершину каркаса. Кусок, который проходит через вершину насквозь, забирает концы рёбер парами: сколько рёбер он в вершине занял, входя, столько же занял и выходя. Поэтому, если бы в вершине не оканчивался ни один кусок проволоки, число рёбер при этой вершине было бы чётным. Но оно равно 3 и нечётно. Значит, в каждой вершине оканчивается хотя бы один кусок.
Вершин восемь, поэтому концов кусков не меньше восьми. У каждого куска ровно два конца, значит, кусков не меньше \(8 : 2 = 4\).
Четырёх кусков достаточно. Согнём их по путям \(EFBA\), \(FGCB\), \(GHDC\), \(HEAD\): первый кусок пойдёт по рёбрам \(EF\), \(FB\), \(BA\), второй — по \(FG\), \(GC\), \(CB\), третий — по \(GH\), \(HD\), \(DC\), четвёртый — по \(HE\), \(EA\), \(AD\). Всего это \(4 \cdot 3 = 12\) рёбер, и каждое ребро каркаса встречается ровно один раз.
Ответ: на 4 части.
