Страница 45 номер 70, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
У графа шесть вершин и девять рёбер: \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(BC\), \(BD\), \(BE\), \(FC\), \(FD\), \(FE\); каждая из вершин \(A\), \(B\), \(F\) соединена с каждой из вершин \(C\), \(D\), \(E\), а внутри троек \(A\), \(B\), \(F\) и \(C\), \(D\), \(E\) рёбер нет. Розовым закрашены вершины \(A\), \(C\), \(E\), чёрным — \(B\), \(D\), \(F\). В каждом пункте оставляем все шесть вершин.
а) Вершину \(A\) содержат рёбра \(AC\), \(AD\) и \(AE\) — только они, потому что рёбер \(AB\) и \(AF\) в графе нет. Подграф состоит из этих трёх рёбер.
б) Цвета концов всех девяти рёбер: \(AC\) — розовая и розовая; \(AD\) — розовая и чёрная; \(AE\) — розовая и розовая; \(BC\) — чёрная и розовая; \(BD\) — чёрная и чёрная; \(BE\) — чёрная и розовая; \(FC\) — чёрная и розовая; \(FD\) — чёрная и чёрная; \(FE\) — чёрная и розовая. Вершины одного цвета соединяют четыре ребра: \(AC\), \(AE\), \(BD\), \(FD\); из них и состоит подграф.
в) Остальные пять рёбер соединяют вершины разных цветов: \(AD\), \(BC\), \(BE\), \(FC\), \(FE\). Подграф состоит из них.
г) Вершину \(E\) содержат рёбра \(AE\), \(BE\), \(FE\) — их выбрасываем; остальные шесть вершину \(E\) не содержат: \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(FC\), \(FD\). Из них и состоит подграф.
д) Через ребро \(BC\) проходят четыре цикла длины 4: \(BCADB\) (рёбра \(BC\), \(CA\), \(AD\), \(DB\)), \(BCAEB\) (рёбра \(BC\), \(CA\), \(AE\), \(EB\)), \(BCFDB\) (рёбра \(BC\), \(CF\), \(FD\), \(DB\)) и \(BCFEB\) (рёбра \(BC\), \(CF\), \(FE\), \(EB\)): в каждом четыре попарно различные вершины, соседние соединены ребром, последняя совпадает с первой.
Вместе эти четыре цикла содержат все девять рёбер графа, поэтому искомый подграф — весь граф целиком.
Ответ: а) подграф из трёх рёбер \(AC\), \(AD\), \(AE\); б) подграф из четырёх рёбер \(AC\), \(AE\), \(BD\), \(FD\); в) подграф из пяти рёбер \(AD\), \(BC\), \(BE\), \(FC\), \(FE\); г) подграф из шести рёбер \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(FC\), \(FD\); д) весь граф целиком — все девять рёбер \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(BC\), \(BD\), \(BE\), \(FC\), \(FD\), \(FE\).
Подграф данного графа получается, если удалить из него часть рёбер и, возможно, некоторые вершины вместе с примыкающими к ним рёбрами. В каждом пункте оставим все шесть вершин, а рёбра — только те, о которых говорит условие.
У графа шесть вершин и девять рёбер: \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(BC\), \(BD\), \(BE\), \(FC\), \(FD\), \(FE\). Каждая из вершин \(A\), \(B\), \(F\) соединена с каждой из вершин \(C\), \(D\), \(E\), а внутри троек \(A\), \(B\), \(F\) и \(C\), \(D\), \(E\) рёбер нет. Розовым закрашены вершины \(A\), \(C\), \(E\), чёрным — вершины \(B\), \(D\), \(F\).
а) Вершину \(A\) содержат рёбра \(AC\), \(AD\) и \(AE\) — только они, потому что рёбер \(AB\) и \(AF\) в графе нет. Подграф состоит из этих трёх рёбер.
б) Переберём все девять рёбер и посмотрим на цвета их концов: \(AC\) — розовая и розовая, подходит; \(AD\) — розовая и чёрная, не подходит; \(AE\) — розовая и розовая, подходит; \(BC\) — чёрная и розовая, не подходит; \(BD\) — чёрная и чёрная, подходит; \(BE\) — чёрная и розовая, не подходит; \(FC\) — чёрная и розовая, не подходит; \(FD\) — чёрная и чёрная, подходит; \(FE\) — чёрная и розовая, не подходит. Вершины одного цвета соединяют четыре ребра: \(AC\), \(AE\), \(BD\), \(FD\); из них и состоит подграф.
в) Остальные пять рёбер соединяют вершины разных цветов: \(AD\), \(BC\), \(BE\), \(FC\), \(FE\). Подграф состоит из них.
г) Вершину \(E\) содержат рёбра \(AE\), \(BE\) и \(FE\); их надо выбросить. Остальные шесть рёбер вершину \(E\) не содержат: \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(FC\), \(FD\). Из них и состоит подграф.
д) Выпишем четыре цикла длины 4, проходящих через ребро \(BC\): \(BCADB\) (рёбра \(BC\), \(CA\), \(AD\), \(DB\)), \(BCAEB\) (рёбра \(BC\), \(CA\), \(AE\), \(EB\)), \(BCFDB\) (рёбра \(BC\), \(CF\), \(FD\), \(DB\)) и \(BCFEB\) (рёбра \(BC\), \(CF\), \(FE\), \(EB\)). В каждом из них четыре попарно различные вершины, каждые две соседние соединены ребром, а последняя вершина совпадает с первой — значит, это действительно циклы, и каждый проходит через ребро \(BC\).
Вместе эти четыре цикла содержат рёбра \(BC\), \(AC\), \(AD\), \(BD\), \(AE\), \(BE\), \(FC\), \(FD\), \(FE\), то есть все девять рёбер графа. Значит, каждое ребро принадлежит какому-нибудь циклу, проходящему через ребро \(BC\), и искомый подграф — весь граф целиком.
Ответ: а) подграф из трёх рёбер \(AC\), \(AD\), \(AE\); б) подграф из четырёх рёбер \(AC\), \(AE\), \(BD\), \(FD\); в) подграф из пяти рёбер \(AD\), \(BC\), \(BE\), \(FC\), \(FE\); г) подграф из шести рёбер \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(FC\), \(FD\); д) весь граф целиком — все девять рёбер \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(BC\), \(BD\), \(BE\), \(FC\), \(FD\), \(FE\).
