Страница 13 номер 3, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Числовой набор отмечен на координатной прямой точками (рис. 4). Сравните медиану и среднее арифметическое этого набора.
Деления на всех трёх прямых одинаковы, а числа у штрихов не подписаны, поэтому сравниваем не значения чисел, а расстояния между точками.
а) Одна точка стоит слева, четыре собраны в тесную группу возле восьмого штриха. Обозначим числа по возрастанию \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\): \(x_1\) — одиночная левая точка, остальные — точки группы. При пяти числах медиана равна третьему числу ряда: \(m = x_3\), и
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} - x_3 = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_3) + (x_2 - x_3) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_3)}{5}. \end{aligned}\]
Точки \(x_2\), \(x_4\), \(x_5\) отстоят от \(x_3\) меньше чем на одно деление, а точка \(x_1\) удалена от \(x_3\) влево на несколько делений. Значит, слагаемое \(x_1 - x_3\) по модулю больше суммы остальных трёх, весь числитель отрицателен и \(\bar{x} - m < 0\): одиночная левая точка утаскивает среднее арифметическое влево, а медиана остаётся внутри группы, поэтому медиана больше среднего арифметического.
б) Четыре точки стоят точно на штрихах — на первом, втором, восьмом и девятом; обозначим их значения по возрастанию \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\). При четырёх числах медиана равна полусумме \(m = \frac{x_2 + x_3}{2}\), и
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} - \frac{x_2 + x_3}{2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2) + (x_4 - x_3)}{4}. \end{aligned}\]
Точки \(x_1\) и \(x_2\) стоят на соседних штрихах, точки \(x_3\) и \(x_4\) — тоже на соседних, а все деления одинаковы, поэтому \(x_2 - x_1 = x_4 - x_3\), числитель равен нулю и \(\bar{x} = m\): медиана и среднее арифметическое равны.
в) Одна точка стоит левее первого штриха, две — сразу справа от него, ещё две собраны возле восьмого штриха; обозначим числа по возрастанию \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\). Точки \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) образуют левую группу, точки \(x_4\), \(x_5\) — правую. Медиана снова равна третьему числу ряда: \(m = x_3\), и для неё верно то же равенство
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_3) + (x_2 - x_3) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_3)}{5}. \end{aligned}\]
Слагаемые \(x_1 - x_3\) и \(x_2 - x_3\) по модулю меньше одного деления каждое, а слагаемые \(x_4 - x_3\) и \(x_5 - x_3\) равны нескольким делениям каждое, поэтому числитель положителен и \(\bar{x} - m > 0\): две правые точки утаскивают среднее арифметическое вправо, а медиана остаётся в левой группе, поэтому среднее арифметическое больше медианы.
Ответ: а) медиана больше среднего арифметического; б) медиана и среднее арифметическое равны; в) среднее арифметическое больше медианы.
Числовой набор отмечен на координатной прямой точками (рис. 4). Сравните медиану и среднее арифметическое этого набора.
Деления на всех трёх прямых одинаковы, а числа у штрихов не подписаны. Поэтому сравнивать медиану и среднее арифметическое будем не по значениям чисел, а по расстояниям между точками.
а) Одна точка стоит слева, левее первого штриха, а четыре другие собраны в тесную группу возле восьмого штриха. Обозначим числа набора в порядке возрастания \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\): тогда \(x_1\) — одиночная левая точка, а \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\) — точки группы.
При пяти числах хотя бы половина — это хотя бы три числа, поэтому медиана равна третьему числу вариационного ряда: \(m = x_3\). Сравним с ней среднее арифметическое:
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} - x_3 = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_3) + (x_2 - x_3) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_3)}{5}. \end{aligned}\]
Точки \(x_2\), \(x_4\), \(x_5\) лежат в той же группе, что и \(x_3\), и отстоят от неё меньше чем на одно деление, а точка \(x_1\) удалена от \(x_3\) влево на несколько делений. Значит, отрицательное слагаемое \(x_1 - x_3\) по модулю больше суммы остальных трёх слагаемых, весь числитель отрицателен и \(\bar{x} - m < 0\).
Одиночная левая точка утаскивает среднее арифметическое влево от группы, а медиана остаётся внутри группы, поэтому медиана больше среднего арифметического.
б) Все четыре точки стоят точно на штрихах: на первом, втором, восьмом и девятом. Обозначим их значения по возрастанию \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\).
При четырёх числах медианой служит любое число, заключённое между вторым и третьим значениями; по соглашению берём их полусумму \(m = \frac{x_2 + x_3}{2}\). Тогда
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} - \frac{x_2 + x_3}{2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2) + (x_4 - x_3)}{4}. \end{aligned}\]
Точки \(x_1\) и \(x_2\) стоят на соседних штрихах, точки \(x_3\) и \(x_4\) — тоже на соседних, а все деления прямой одинаковы. Значит, \(x_2 - x_1 = x_4 - x_3\), числитель равен нулю и \(\bar{x} = m\): медиана и среднее арифметическое равны.
в) Одна точка стоит левее первого штриха, две — сразу справа от него, и ещё две собраны возле восьмого штриха. Обозначим числа по возрастанию \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\): точки \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) образуют левую группу, точки \(x_4\), \(x_5\) — правую. Медиана снова равна третьему числу ряда: \(m = x_3\), и для неё верно то же равенство
\[\begin{aligned} &\bar{x} - m = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_3) + (x_2 - x_3) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_3)}{5}. \end{aligned}\]
Теперь отрицательные слагаемые \(x_1 - x_3\) и \(x_2 - x_3\) по модулю меньше одного деления каждое, а положительные слагаемые \(x_4 - x_3\) и \(x_5 - x_3\) равны нескольким делениям каждое. Числитель положителен, значит, \(\bar{x} - m > 0\).
Две правые точки утаскивают среднее арифметическое вправо, а медиана остаётся в левой группе, поэтому среднее арифметическое больше медианы.
Ответ: а) медиана больше среднего арифметического; б) медиана и среднее арифметическое равны; в) среднее арифметическое больше медианы.
