Вопросы после параграфа §1 на страницах 10-11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Как обозначают множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел? 2. Какие существуют способы задания множеств? 3. Какое множество называют подмножеством данного множества? 4. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами? 5. Что называют пересечением двух множеств; объединением двух множеств; разностью двух множеств?
Множество натуральных чисел обозначают \(\mathbf{N}\), целых — \(\mathbf{Z}\), рациональных — \(\mathbf{Q}\), действительных — \(\mathbf{R}\): \(12 \in \mathbf{N}\), \(-3 \in \mathbf{Z}\), \(\frac{2}{3} \in \mathbf{Q}\), \(\sqrt{2} \in \mathbf{R}\).
Ответ: множество натуральных чисел — \(\mathbf{N}\), целых — \(\mathbf{Z}\), рациональных — \(\mathbf{Q}\), действительных — \(\mathbf{R}\).
Первый способ — перечисление всех элементов: \(M = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\) — множество натуральных чисел, меньших 5.
Второй способ — указание характеристического свойства, которым обладают все элементы множества и только они: \(A = \{x \mid \ldots\}\), где после черты стоит условие на \(x\). Например, \(\{x \mid x = 3n,\ n \in \mathbf{N}\}\) — натуральные числа, кратные 3.
Перечислением задают множество с небольшим числом элементов, характеристическим свойством — и бесконечное.
Ответ: перечислением всех элементов множества и указанием характеристического свойства его элементов.
Множество \(B\) называют подмножеством множества \(A\), если каждый элемент множества \(B\) является элементом множества \(A\); записывают \(B \subset A\) или \(A \supset B\).
Для любого множества верно \(A \subset A\) и \(\varnothing \subset A\); если \(B \subset A\) и \(B \ne A\), то \(B\) — собственное подмножество множества \(A\).
Ответ: множество \(B\) называют подмножеством множества \(A\), если каждый элемент множества \(B\) является элементом множества \(A\); пишут \(B \subset A\).
Диаграммами Эйлера: каждое множество изображают кругом, а соотношение между множествами передают взаимным расположением кругов; круг \(B\) внутри круга \(A\) означает \(B \subset A\).
Ответ: соотношения между множествами наглядно показывают диаграммами Эйлера — каждое множество изображают кругом, а взаимное расположение кругов передаёт соотношение между множествами.
Пересечение — множество всех элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\): \[A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}.\]
Объединение — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: \[A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}.\]
Разность — множество всех элементов, принадлежащих множеству \(A\), но не принадлежащих множеству \(B\): \[A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}.\]
Ответ: пересечение \(A \cap B\) — множество всех элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\); объединение \(A \cup B\) — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств \(A\) и \(B\); разность \(A \setminus B\) — множество всех элементов, принадлежащих множеству \(A\), но не принадлежащих множеству \(B\).
1. Как обозначают множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел? 2. Какие существуют способы задания множеств? 3. Какое множество называют подмножеством данного множества? 4. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами? 5. Что называют пересечением двух множеств; объединением двух множеств; разностью двух множеств?
Важнейшим числовым множествам присвоены общепринятые обозначения — по одной жирной латинской букве. Множество натуральных чисел обозначают буквой \(\mathbf{N}\), множество целых чисел — буквой \(\mathbf{Z}\), множество рациональных чисел — буквой \(\mathbf{Q}\), множество действительных чисел — буквой \(\mathbf{R}\).
Например, \(12 \in \mathbf{N}\), \(-3 \in \mathbf{Z}\), \(\frac{2}{3} \in \mathbf{Q}\), \(\sqrt{2} \in \mathbf{R}\).
Ответ: множество натуральных чисел — \(\mathbf{N}\), целых — \(\mathbf{Z}\), рациональных — \(\mathbf{Q}\), действительных — \(\mathbf{R}\).
Множество задают одним из двух способов.
Первый способ — указание (перечисление) всех элементов множества. Например, если \(M\) — множество натуральных чисел, меньших 5, то \(M = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\).
Второй способ — указание характеристического свойства элементов, то есть свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они. Такое множество записывают в виде \(A = \{x \mid \ldots\}\), где после вертикальной черты стоит условие, которому должен удовлетворять элемент \(x\). Например, \(\{x \mid x = 3n,\ n \in \mathbf{N}\}\) — множество натуральных чисел, кратных 3, а \(\{x \mid x(x^2 - 1) = 0\}\) — множество корней уравнения \(x(x^2 - 1) = 0\).
Перечислением удобно задавать множество с небольшим числом элементов; характеристическим свойством можно задать и бесконечное множество.
Ответ: перечислением всех элементов множества и указанием характеристического свойства его элементов.
Множество \(B\) называют подмножеством множества \(A\), если каждый элемент множества \(B\) является элементом множества \(A\). Это записывают так: \(B \subset A\) или \(A \supset B\).
Например, \(\{a\} \subset \{a,\ b\}\), а для числовых множеств \(\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}\), \(\mathbf{Q} \subset \mathbf{R}\).
Любое множество является подмножеством самого себя, то есть \(A \subset A\), а пустое множество считают подмножеством любого множества: \(\varnothing \subset A\). Если \(B \subset A\) и при этом \(B \ne A\), то множество \(B\) называют собственным подмножеством множества \(A\).
Ответ: множество \(B\) называют подмножеством множества \(A\), если каждый элемент множества \(B\) является элементом множества \(A\); пишут \(B \subset A\).
Соотношения между множествами иллюстрируют схемами, которые называют диаграммами Эйлера. Каждое множество изображают кругом, а соотношение между множествами показывают взаимным расположением кругов. Если круг, изображающий множество \(B\), целиком лежит внутри круга, изображающего множество \(A\), то это означает, что \(B \subset A\).
Такими же схемами показывают и результаты действий над множествами: пересечение, объединение и разность выделяют на диаграмме штриховкой.
Ответ: соотношения между множествами наглядно показывают диаграммами Эйлера — каждое множество изображают кругом, а взаимное расположение кругов передаёт соотношение между множествами.
Пересечением множеств \(A\) и \(B\) называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\). Обозначают его \(A \cap B\), и по определению \[A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}.\]
Объединением множеств \(A\) и \(B\) называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству \(A\), или множеству \(B\). Обозначают его \(A \cup B\), и по определению \[A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}.\]
Разностью множеств \(A\) и \(B\) называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству \(A\), но не принадлежащих множеству \(B\). Обозначают её \(A \setminus B\), и по определению \[A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}.\]
Например, для множеств \(A = \{1,\ 2,\ 3\}\) и \(B = \{3,\ 4\}\) получаем \(A \cap B = \{3\}\), \(A \cup B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\), \(A \setminus B = \{1,\ 2\}\).
Ответ: пересечение \(A \cap B\) — множество всех элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\); объединение \(A \cup B\) — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств \(A\) и \(B\); разность \(A \setminus B\) — множество всех элементов, принадлежащих множеству \(A\), но не принадлежащих множеству \(B\).
