Страница 68 номер 89, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что в полном графе с \(n\) вершинами количество рёбер равно \(\frac{n(n-1)}{2}\).
В полном графе при \(n\) вершинах у каждой ровно \(n-1\) сосед, то есть степень каждой вершины равна \(n-1\), а сумма степеней \(n(n-1)\).
С другой стороны, сумма степеней равна удвоенному числу рёбер: каждое ребро прибавляет по единице к степеням обоих своих концов.
Значит, при \(k\) рёбрах \(2k = n(n-1)\), откуда \(k = \frac{n(n-1)}{2}\), что и требовалось доказать.
Ответ: каждая из \(n\) вершин полного графа имеет степень \(n-1\), сумма степеней равна \(n(n-1)\), а число рёбер вдвое меньше суммы степеней, то есть равно \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Докажите, что в полном графе с \(n\) вершинами количество рёбер равно \(\frac{n(n-1)}{2}\).
В полном графе каждая вершина соединена ребром с каждой из остальных. Если вершин \(n\), то у каждой вершины ровно \(n-1\) сосед, то есть степень каждой вершины равна \(n-1\).
Сложим степени всех вершин: слагаемых \(n\), каждое равно \(n-1\), поэтому сумма степеней равна \(n(n-1)\).
С другой стороны, сумма степеней всех вершин любого графа равна удвоенному числу рёбер: каждое ребро прибавляет по единице к степеням обоих своих концов, то есть даёт в общую сумму 2.
Обозначим число рёбер полного графа через \(k\). Тогда \(2k = n(n-1)\), откуда \(k = \frac{n(n-1)}{2}\), что и требовалось доказать.
Ответ: каждая из \(n\) вершин полного графа имеет степень \(n-1\), сумма степеней равна \(n(n-1)\), а число рёбер вдвое меньше суммы степеней, то есть равно \(\frac{n(n-1)}{2}\).
