Страница 56 номер 76, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Можно ли раскрасить рёбра куба в красный и зелёный цвета так, чтобы муравей мог пройти из любой вершину в любую только по красным рёбрам, а жук — только по зелёным?
У куба 8 вершин и 12 рёбер. Выясним сначала, сколько рёбер нужно одному цвету.
Пока ни одного ребра нет, картинка распадается на 8 кусков — каждая вершина сама по себе. Очередное ребро либо соединяет вершины двух разных кусков, и они сливаются в один, либо соединяет две вершины одного куска, и число кусков не меняется: каждое ребро уменьшает число кусков не больше чем на 1.
Из вершины одного куска в вершину другого пройти нельзя, поэтому в конце кусок должен остаться один, а для этого нужно не меньше \(8 - 1 = 7\) рёбер.
Значит, красных рёбер не меньше 7 и зелёных не меньше 7, то есть всего не меньше \(7 + 7 = 14\), а у куба их 12, и \(14 > 12\). Противоречие.
Ответ: нет, нельзя: чтобы связать все 8 вершин куба, рёбер одного цвета нужно не меньше 7, поэтому на два цвета потребовалось бы не меньше 14 рёбер, а у куба их только 12.
Можно ли раскрасить рёбра куба в красный и зелёный цвета так, чтобы муравей мог пройти из любой вершину в любую только по красным рёбрам, а жук — только по зелёным?
У куба 8 вершин и 12 рёбер. Требуется покрасить каждое ребро в красный или зелёный цвет так, чтобы по одним только красным рёбрам можно было пройти из любой вершины в любую и по одним только зелёным — тоже.
Сначала выясним, сколько рёбер нужно одному цвету. Пусть между 8 вершинами проведены какие-то рёбра, и по ним из каждой вершины можно попасть в любую другую. Будем проводить эти рёбра по одному и следить за тем, на сколько отдельных кусков распадается получающаяся картинка. Пока ни одного ребра нет, кусков 8 — каждая вершина сама по себе. Очередное ребро либо соединяет вершины двух разных кусков, и тогда эти куски сливаются в один, а общее число кусков уменьшается на 1, либо соединяет две вершины одного куска, и тогда число кусков не меняется. Значит, каждое ребро уменьшает число кусков не больше чем на 1.
Из вершины одного куска в вершину другого пройти нельзя, поэтому в конце кусок должен остаться один. Чтобы из 8 кусков получился 1, нужно не меньше \(8 - 1 = 7\) рёбер.
Значит, красных рёбер не меньше 7 и зелёных не меньше 7, то есть всего рёбер должно быть не меньше \(7 + 7 = 14\). Но у куба их всего 12, а \(14 > 12\). Получилось противоречие.
Ответ: нет, нельзя: чтобы связать все 8 вершин куба, рёбер одного цвета нужно не меньше 7, поэтому на два цвета потребовалось бы не меньше 14 рёбер, а у куба их только 12.
