Страница 56 номер 75, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Можно ли из куска проволоки длиной 120 см изготовить каркас куба с ребром 10 см? Проволоку разрешается сгибать, но не разламывать.
У куба 12 рёбер, при ребре 10 см на каркас нужно \(12 \cdot 10 = 120\) (см) проволоки. Проволоки ровно 120 см, а разламывать её нельзя, поэтому каждое ребро будет покрыто ровно один раз: на второй проход по ребру проволоки не остаётся.
Значит, проволока должна пройти по всем 12 рёбрам, каждое по одному разу, — это эйлеров цикл, если концы сошлись в одной вершине, или эйлеров путь, если в разных.
У куба 8 вершин, в каждой сходятся три ребра, все восемь степеней равны 3 — нечётные. Проверка суммы: \(8 \cdot 3 = 24 = 2 \cdot 12\).
Эйлерова цикла нет: для него все степени должны быть чётными. Эйлерова пути тоже нет: у него нечётных вершин не больше двух, а здесь их восемь.
Ответ: нет, нельзя: длины проволоки в точности хватает на 12 рёбер, поэтому она обошла бы каждое ребро ровно один раз, а такого маршрута у куба нет — все 8 его вершин имеют нечётную степень 3.
Можно ли из куска проволоки длиной 120 см изготовить каркас куба с ребром 10 см? Проволоку разрешается сгибать, но не разламывать.
У куба 12 рёбер, и при ребре 10 см на каркас нужно \(12 \cdot 10 = 120\) (см) проволоки. Проволоки ровно 120 см, а разламывать её нельзя, поэтому она пойдёт на рёбра целиком и каждое ребро будет покрыто ровно один раз: лишней проволоки на второй проход по какому-нибудь ребру не остаётся.
Значит, проволока — один непрерывный кусок — должна пройти по всем 12 рёбрам, каждое ровно по одному разу. На языке графов это маршрут, содержащий все рёбра и не повторяющий ни одного: эйлеров цикл, если концы проволоки сошлись в одной вершине, или эйлеров путь, если они оказались в разных.
Посмотрим на степени вершин куба. Вершин 8, и в каждой сходятся ровно три ребра, поэтому все восемь степеней равны 3 — все нечётные. Проверка суммы: \(8 \cdot 3 = 24 = 2 \cdot 12\).
Эйлерова цикла нет: для него нужно, чтобы все степени были чётными. Эйлерова пути тоже нет: у незамкнутого маршрута, не повторяющего рёбер, чётную степень имеют все вершины, кроме начала и конца, поэтому нечётных вершин может быть не больше двух, а здесь их восемь.
Ответ: нет, нельзя: длины проволоки в точности хватает на 12 рёбер, поэтому она обошла бы каждое ребро ровно один раз, а такого маршрута у куба нет — все 8 его вершин имеют нечётную степень 3.
