Страница 19 номер 12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Сумма чисел от 1 до 16 равна \(1 + 2 + \ldots + 16 = (1 + 16) \cdot 16 : 2 = 136\), поэтому в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали сумма должна равняться \(136 : 4 = 34\).
Запишем числа по порядку:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Каждое число \(a\) на диагоналях заменим на \(17 - a\): числа остаются различными и по-прежнему пробегают все значения от 1 до 16.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 16 & 2 & 3 & 13 \\ \hline 5 & 11 & 10 & 8 \\ \hline 9 & 7 & 6 & 12 \\ \hline 4 & 14 & 15 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: строки \(16 + 2 + 3 + 13 = 34\), \(5 + 11 + 10 + 8 = 34\), \(9 + 7 + 6 + 12 = 34\), \(4 + 14 + 15 + 1 = 34\); столбцы \(16 + 5 + 9 + 4 = 34\), \(2 + 11 + 7 + 14 = 34\), \(3 + 10 + 6 + 15 = 34\), \(13 + 8 + 12 + 1 = 34\); диагонали \(16 + 11 + 6 + 1 = 34\) и \(13 + 10 + 7 + 4 = 34\).
Ответ: магический квадрат со строками 16, 2, 3, 13; 5, 11, 10, 8; 9, 7, 6, 12; 4, 14, 15, 1 — сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 34.
Возьмём числа от 1 до 16. Их сумма равна \(1 + 2 + \ldots + 16 = (1 + 16) \cdot 16 : 2 = 136\). Строк четыре, и все четыре суммы одинаковы, поэтому в каждой строке сумма должна равняться \(136 : 4 = 34\); столько же должно получаться в каждом столбце и на каждой диагонали.
Запишем числа по порядку в квадрат \(4 \times 4\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Здесь суммы строк уже разные. Заменим каждое число \(a\), стоящее на любой из двух диагоналей, на число \(17 - a\): единица заменится на 16, шестёрка — на 11 и так далее. Числа при этом остаются различными и по-прежнему пробегают все значения от 1 до 16.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 16 & 2 & 3 & 13 \\ \hline 5 & 11 & 10 & 8 \\ \hline 9 & 7 & 6 & 12 \\ \hline 4 & 14 & 15 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: суммы строк \(16 + 2 + 3 + 13 = 34\), \(5 + 11 + 10 + 8 = 34\), \(9 + 7 + 6 + 12 = 34\), \(4 + 14 + 15 + 1 = 34\); суммы столбцов \(16 + 5 + 9 + 4 = 34\), \(2 + 11 + 7 + 14 = 34\), \(3 + 10 + 6 + 15 = 34\), \(13 + 8 + 12 + 1 = 34\); суммы диагоналей \(16 + 11 + 6 + 1 = 34\) и \(13 + 10 + 7 + 4 = 34\).
Ответ: магический квадрат со строками 16, 2, 3, 13; 5, 11, 10, 8; 9, 7, 6, 12; 4, 14, 15, 1 — сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 34.
