Страница 47 номер 2.3.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Разложим на множители многочлены делителя:

\[8a^3 + 8ab^2 = 8a(a^2 + b^2);\]

\[a^3 + a^2 b - ab^2 - b^3 = a^2(a + b) - b^2(a + b) = (a + b)(a^2 - b^2) = (a + b)^2 (a - b).\]

Понадобятся также равенства \((a - b)^2 - (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = -4ab\) и \((a - b)^2 + (a + b)^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)\).

1) \[\begin{aligned} &\left(\frac{a - b}{a + b}\right)^2 - \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 = \frac{(a - b)^4 - (a + b)^4}{(a + b)^2 (a - b)^2} = {} \\ &= \frac{\left((a - b)^2 - (a + b)^2\right)\left((a - b)^2 + (a + b)^2\right)}{(a + b)^2 (a - b)^2} = {} \\ &= \frac{-4ab \cdot 2(a^2 + b^2)}{(a + b)^2 (a - b)^2} = -\frac{8ab(a^2 + b^2)}{(a + b)^2 (a - b)^2};\end{aligned}\]

2) \[\begin{aligned} &-\frac{8ab(a^2 + b^2)}{(a + b)^2 (a - b)^2} : \frac{8a(a^2 + b^2)}{(a + b)^2 (a - b)} = {} \\ &= -\frac{8ab(a^2 + b^2)}{(a + b)^2 (a - b)^2} \cdot \frac{(a + b)^2 (a - b)}{8a(a^2 + b^2)} = -\frac{b}{a - b};\end{aligned}\]

3) \[\begin{aligned} &-\frac{b}{a - b} + \frac{b}{a + b} = \frac{-b(a + b) + b(a - b)}{(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{-ab - b^2 + ab - b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{-2b^2}{a^2 - b^2};\end{aligned}\]

4) \[1 - \left(\frac{a}{b}\right)^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{b^2};\]

5) \[\frac{-2b^2}{a^2 - b^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{b^2} = \frac{-2b^2 \cdot \left(-(a^2 - b^2)\right)}{(a^2 - b^2) \cdot b^2} = \frac{2b^2 (a^2 - b^2)}{b^2 (a^2 - b^2)} = 2.\]

Выражение имеет смысл при \(a \ne 0\), \(b \ne 0\), \(a \ne b\) и \(a \ne -b\), и при всех таких \(a\) и \(b\) его значение равно 2. Следовательно, значение выражения не зависит от значений входящих в него букв, что и требовалось доказать.

Ответ: при всех допустимых значениях букв (\(a \ne 0\), \(b \ne 0\), \(a \ne b\), \(a \ne -b\)) выражение равно 2 и от значений \(a\) и \(b\) не зависит.