Страница 45 номер 2.3.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить выражение: 1) \(\left(\frac{2a}{a+1}+\frac{3}{a-4}+\frac{4a-6}{a^2-3a-4}\right):\frac{2a-3}{a}\); 2) \(\left(\frac{3b-21}{b^2+b-6}+\frac{2}{b-2}+\frac{2b}{b+3}\right):\frac{2b-5}{b}\); 3) \(\frac{9x-16}{3x+9}+\frac{9x^2-16}{2x^2+5x-3}:\frac{4+3x}{1-2x}\); 4) \(\frac{y}{1-2y}+\frac{9y^2-4}{2y^2-5y+2}:\frac{3y+2}{2-y}\).
1) \(a^2 - 3a - 4 = (a - 4)(a + 1)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{2a}{a + 1} + \frac{3}{a - 4} + \frac{4a - 6}{a^2 - 3a - 4} = \frac{2a(a - 4) + 3(a + 1) + 4a - 6}{(a + 1)(a - 4)} = {} \\ &= \frac{2a^2 - 8a + 3a + 3 + 4a - 6}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{2a^2 - a - 3}{(a + 1)(a - 4)} = {} \\ &= \frac{2a^2 - 3a + 2a - 3}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{a(2a - 3) + (2a - 3)}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{2a - 3}{a - 4}; \end{aligned}\]
\[\frac{2a - 3}{a - 4} : \frac{2a - 3}{a} = \frac{2a - 3}{a - 4} \cdot \frac{a}{2a - 3} = \frac{a}{a - 4}.\]
2) \(b^2 + b - 6 = (b + 3)(b - 2)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{3b - 21}{b^2 + b - 6} + \frac{2}{b - 2} + \frac{2b}{b + 3} = \frac{3b - 21 + 2(b + 3) + 2b(b - 2)}{(b + 3)(b - 2)} = {} \\ &= \frac{3b - 21 + 2b + 6 + 2b^2 - 4b}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b^2 + b - 15}{(b + 3)(b - 2)} = {} \\ &= \frac{2b^2 + 6b - 5b - 15}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b(b + 3) - 5(b + 3)}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b - 5}{b - 2}; \end{aligned}\]
\[\frac{2b - 5}{b - 2} : \frac{2b - 5}{b} = \frac{2b - 5}{b - 2} \cdot \frac{b}{2b - 5} = \frac{b}{b - 2}.\]
3) \(2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)\), \(9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{9x^2 - 16}{2x^2 + 5x - 3} : \frac{4 + 3x}{1 - 2x} = \frac{(3x - 4)(3x + 4)}{(x + 3)(2x - 1)} \cdot \frac{1 - 2x}{3x + 4} = {} \\ &= \frac{(3x - 4)(1 - 2x)}{(x + 3)(2x - 1)} = \frac{-(3x - 4)(2x - 1)}{(x + 3)(2x - 1)} = \frac{4 - 3x}{x + 3}; \end{aligned}\]
\[\frac{9x - 16}{3x + 9} + \frac{4 - 3x}{x + 3} = \frac{9x - 16 + 3(4 - 3x)}{3(x + 3)} = \frac{9x - 16 + 12 - 9x}{3(x + 3)} = -\frac{4}{3x + 9}.\]
4) \(2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)\), \(9y^2 - 4 = (3y - 2)(3y + 2)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{9y^2 - 4}{2y^2 - 5y + 2} : \frac{3y + 2}{2 - y} = \frac{(3y - 2)(3y + 2)}{(2y - 1)(y - 2)} \cdot \frac{2 - y}{3y + 2} = {} \\ &= \frac{(3y - 2)(2 - y)}{(2y - 1)(y - 2)} = \frac{-(3y - 2)(y - 2)}{(2y - 1)(y - 2)} = \frac{2 - 3y}{2y - 1}. \end{aligned}\]
В первой дроби меняем знак знаменателя и знак перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{y}{1 - 2y} + \frac{2 - 3y}{2y - 1} = -\frac{y}{2y - 1} + \frac{2 - 3y}{2y - 1} = {} \\ &= \frac{-y + 2 - 3y}{2y - 1} = \frac{2 - 4y}{2y - 1} = \frac{-2(2y - 1)}{2y - 1} = -2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{a}{a - 4}\); 2) \(\frac{b}{b - 2}\); 3) \(-\frac{4}{3x + 9}\); 4) \(-2\).
Упростить выражение: 1) \(\left(\frac{2a}{a+1}+\frac{3}{a-4}+\frac{4a-6}{a^2-3a-4}\right):\frac{2a-3}{a}\); 2) \(\left(\frac{3b-21}{b^2+b-6}+\frac{2}{b-2}+\frac{2b}{b+3}\right):\frac{2b-5}{b}\); 3) \(\frac{9x-16}{3x+9}+\frac{9x^2-16}{2x^2+5x-3}:\frac{4+3x}{1-2x}\); 4) \(\frac{y}{1-2y}+\frac{9y^2-4}{2y^2-5y+2}:\frac{3y+2}{2-y}\).
1) \(a^2 - 3a - 4 = (a - 4)(a + 1)\), поэтому общий знаменатель дробей в скобках равен \((a + 1)(a - 4)\):
\[\begin{aligned} &\frac{2a}{a + 1} + \frac{3}{a - 4} + \frac{4a - 6}{a^2 - 3a - 4} = \frac{2a(a - 4) + 3(a + 1) + 4a - 6}{(a + 1)(a - 4)} = {} \\ &= \frac{2a^2 - 8a + 3a + 3 + 4a - 6}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{2a^2 - a - 3}{(a + 1)(a - 4)} = {} \\ &= \frac{2a^2 - 3a + 2a - 3}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{a(2a - 3) + (2a - 3)}{(a + 1)(a - 4)} = \frac{2a - 3}{a - 4}; \end{aligned}\]
\[\frac{2a - 3}{a - 4} : \frac{2a - 3}{a} = \frac{2a - 3}{a - 4} \cdot \frac{a}{2a - 3} = \frac{a}{a - 4}.\]
2) \(b^2 + b - 6 = (b + 3)(b - 2)\), поэтому общий знаменатель дробей в скобках равен \((b + 3)(b - 2)\):
\[\begin{aligned} &\frac{3b - 21}{b^2 + b - 6} + \frac{2}{b - 2} + \frac{2b}{b + 3} = \frac{3b - 21 + 2(b + 3) + 2b(b - 2)}{(b + 3)(b - 2)} = {} \\ &= \frac{3b - 21 + 2b + 6 + 2b^2 - 4b}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b^2 + b - 15}{(b + 3)(b - 2)} = {} \\ &= \frac{2b^2 + 6b - 5b - 15}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b(b + 3) - 5(b + 3)}{(b + 3)(b - 2)} = \frac{2b - 5}{b - 2}; \end{aligned}\]
\[\frac{2b - 5}{b - 2} : \frac{2b - 5}{b} = \frac{2b - 5}{b - 2} \cdot \frac{b}{2b - 5} = \frac{b}{b - 2}.\]
3) \(2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)\), \(9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{9x^2 - 16}{2x^2 + 5x - 3} : \frac{4 + 3x}{1 - 2x} = \frac{(3x - 4)(3x + 4)}{(x + 3)(2x - 1)} \cdot \frac{1 - 2x}{3x + 4} = {} \\ &= \frac{(3x - 4)(1 - 2x)}{(x + 3)(2x - 1)} = \frac{-(3x - 4)(2x - 1)}{(x + 3)(2x - 1)} = \frac{4 - 3x}{x + 3}; \end{aligned}\]
\[\frac{9x - 16}{3x + 9} + \frac{4 - 3x}{x + 3} = \frac{9x - 16 + 3(4 - 3x)}{3(x + 3)} = \frac{9x - 16 + 12 - 9x}{3(x + 3)} = -\frac{4}{3x + 9}.\]
4) \(2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)\), \(9y^2 - 4 = (3y - 2)(3y + 2)\), поэтому
\[\begin{aligned} &\frac{9y^2 - 4}{2y^2 - 5y + 2} : \frac{3y + 2}{2 - y} = \frac{(3y - 2)(3y + 2)}{(2y - 1)(y - 2)} \cdot \frac{2 - y}{3y + 2} = {} \\ &= \frac{(3y - 2)(2 - y)}{(2y - 1)(y - 2)} = \frac{-(3y - 2)(y - 2)}{(2y - 1)(y - 2)} = \frac{2 - 3y}{2y - 1}. \end{aligned}\]
В первой дроби меняем знак знаменателя и знак перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{y}{1 - 2y} + \frac{2 - 3y}{2y - 1} = -\frac{y}{2y - 1} + \frac{2 - 3y}{2y - 1} = {} \\ &= \frac{-y + 2 - 3y}{2y - 1} = \frac{2 - 4y}{2y - 1} = \frac{-2(2y - 1)}{2y - 1} = -2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{a}{a - 4}\); 2) \(\frac{b}{b - 2}\); 3) \(-\frac{4}{3x + 9}\); 4) \(-2\).
