Страница 44 номер 2.3.22, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выполнить действия: 1) \(a-2-\frac{a^2}{a+2}\); 2) \(\frac{3b^2}{b+3}-b+3\); 3) \(\frac{x-y^2}{x^3+y^3}-\frac{x}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{x+y}\); 4) \(\frac{a}{a^2+ab+b^2}+\frac{a^2-b}{a^3-b^3}-\frac{2}{a-b}\); 5) \(\frac{a^2+b^2}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}-\frac{a-b}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{a+b}\); 6) \(\frac{2}{x-2y}-\frac{x^2-3y^2}{x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3}-\frac{x+2y}{4y^2-4xy+x^2}\).
1) \[a - 2 - \frac{a^2}{a + 2} = \frac{(a - 2)(a + 2) - a^2}{a + 2} = \frac{a^2 - 4 - a^2}{a + 2} = -\frac{4}{a + 2};\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{3b^2}{b + 3} - b + 3 = \frac{3b^2}{b + 3} - (b - 3) = \frac{3b^2 - (b - 3)(b + 3)}{b + 3} = {} \\ &= \frac{3b^2 - b^2 + 9}{b + 3} = \frac{2b^2 + 9}{b + 3}; \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{x - y^2}{x^3 + y^3} - \frac{x}{x^2 - xy + y^2} + \frac{1}{x + y} = {} \\ &= \frac{(x - y^2) - x(x + y) + (x^2 - xy + y^2)}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)} = {} \\ &= \frac{x - y^2 - x^2 - xy + x^2 - xy + y^2}{x^3 + y^3} = \frac{x - 2xy}{x^3 + y^3}; \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{a}{a^2 + ab + b^2} + \frac{a^2 - b}{a^3 - b^3} - \frac{2}{a - b} = {} \\ &= \frac{a(a - b) + (a^2 - b) - 2(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = {} \\ &= \frac{a^2 - ab + a^2 - b - 2a^2 - 2ab - 2b^2}{a^3 - b^3} = \frac{-2b^2 - 3ab - b}{a^3 - b^3}. \end{aligned}\]
Знаки числителя и знаменателя изменены на противоположные — от этого значение дроби не меняется: \(\frac{-2b^2 - 3ab - b}{a^3 - b^3} = \frac{2b^2 + 3ab + b}{b^3 - a^3}\).
5) \[\begin{aligned} &\frac{a^2 + b^2}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3} - \frac{a - b}{a^2 + 2ab + b^2} + \frac{1}{a + b} = {} \\ &= \frac{a^2 + b^2}{(a + b)^3} - \frac{a - b}{(a + b)^2} + \frac{1}{a + b} = {} \\ &= \frac{(a^2 + b^2) - (a - b)(a + b) + (a + b)^2}{(a + b)^3} = {} \\ &= \frac{a^2 + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2}{(a + b)^3} = \frac{a^2 + 2ab + 3b^2}{(a + b)^3}; \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &\frac{2}{x - 2y} - \frac{x^2 - 3y^2}{x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3} - \frac{x + 2y}{4y^2 - 4xy + x^2} = {} \\ &= \frac{2}{x - 2y} - \frac{x^2 - 3y^2}{(x - 2y)^3} - \frac{x + 2y}{(x - 2y)^2} = {} \\ &= \frac{2(x - 2y)^2 - (x^2 - 3y^2) - (x + 2y)(x - 2y)}{(x - 2y)^3} = {} \\ &= \frac{2x^2 - 8xy + 8y^2 - x^2 + 3y^2 - x^2 + 4y^2}{(x - 2y)^3} = \frac{15y^2 - 8xy}{(x - 2y)^3}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(-\frac{4}{a + 2}\); 2) \(\frac{2b^2 + 9}{b + 3}\); 3) \(\frac{x - 2xy}{x^3 + y^3}\); 4) \(\frac{2b^2 + 3ab + b}{b^3 - a^3}\); 5) \(\frac{a^2 + 2ab + 3b^2}{(a + b)^3}\); 6) \(\frac{15y^2 - 8xy}{(x - 2y)^3}\).
