Номер №61 — ГДЗ по алгебре за 7 класс, Макарычев
(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
1) Проверка на примерах. Возьмём простые числа из третьего десятка (\(23\), \(29\)) и из седьмого десятка (\(61\), \(67\)):
\[23 + 1 = 24 = 6 \cdot 4; \qquad 29 + 1 = 30 = 6 \cdot 5;\]
\[61 - 1 = 60 = 6 \cdot 10; \qquad 67 - 1 = 66 = 6 \cdot 11.\]
Во всех случаях либо число, увеличенное на \(1\), либо уменьшенное на \(1\), делится на \(6\).
2) и 3) Доказательство. Пусть \(p\) — простое число, \(p \geqslant 5\). Тогда \(p\) не делится ни на \(2\), ни на \(3\).
Так как \(p\) не делится на \(2\), оно нечётно, поэтому оба соседних числа \(p - 1\) и \(p + 1\) чётные, то есть делятся на \(2\).
Числа \(p - 1\), \(p\), \(p + 1\) — три идущих подряд целых числа, значит, одно из них делится на \(3\). Само \(p\) на \(3\) не делится, поэтому на \(3\) делится одно из чисел \(p - 1\) или \(p + 1\).
Итак, одно из чисел \(p - 1\), \(p + 1\) делится и на \(2\), и на \(3\), а значит, делится на \(6\). Следовательно, простое число \(p \geqslant 5\), увеличенное или уменьшенное на \(1\), делится на \(6\), что и требовалось доказать.
Ответ: утверждение доказано.
(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
Примеры: \(23 + 1 = 24 = 6 \cdot 4\); \(\;61 - 1 = 60 = 6 \cdot 10\).
Простое \(p \geqslant 5\) не делится ни на \(2\), ни на \(3\). Оно нечётно, поэтому \(p - 1\) и \(p + 1\) чётны. Из трёх подряд идущих чисел \(p - 1\), \(p\), \(p + 1\) одно делится на \(3\), и это не \(p\); значит, на \(3\) делится \(p - 1\) или \(p + 1\). Это число делится и на \(2\), и на \(3\), то есть на \(6\).
Ответ: утверждение доказано.
