Номер 2, ГДЗ по геометрии за 10, 11 класс к учебнику Атанасяна
Исследовательские задачи. Номер №2
Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны друг другу.
Докажите, что тетраэдр является равногранным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
а) противоположные рёбра тетраэдра равны;
б) сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна 180°;
в) бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны;
г) бимедианы тетраэдра являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра тетраэдра;
д) центры вписанной и описанной сфер тетраэдра совпадают;
е) центр описанной сферы и центр масс (т. е. точка пересечения медиан) тетраэдра совпадают;
ж) центр вписанной сферы и центр масс тетраэдра совпадают;
з) четыре медианы тетраэдра равны друг другу;
и) четыре высоты тетраэдра равны друг другу; к) грани тетраэдра равновелики.