Номер 1, ГДЗ по геометрии за 10, 11 класс к учебнику Атанасяна

Можно ли из прямолинейных реек изготовить звезду?

Дано: прямая рейка

Доказать: можно изготовить пятиконечную звезду

Доказательство:

●

Задача аналогична проблеме построения графа, не отрывая карандаш от бумаги. 

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым.

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина. 

Известно, что

1. Если в графе все вершины чётные, то его можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.

2. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. Следовательно, графа с одной нечётной вершиной не существует.

3. Если в графе две нечётные вершины, то его можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, при этом начать нужно в одной из этих нечетных вершин и тогда закончим во второй из них.

4. Если в графе больше двух нечётных вершин, его нельзя нарисовать одним росчерком.

Рассмотрим пятиконечную звезду.

В этом графе 5 вершин 2-й степени и 5 вершин 4-й степени.

Все степени четные.

Следовательно, граф можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.

А значит, можно изготовить звезду из прямолинейной рейки, начиная ее изгибать с любого места. 

Что и требовалось доказать. ○