Страница 56 номер 73, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Сопоставим фигуре граф: его вершины — концы и точки излома отрезков, а рёбра — сами отрезки. Нарисовать фигуру, не отрывая карандаш и не проводя ни одну линию дважды, — значит обойти все рёбра этого графа, каждое ровно по одному разу.

Если такой обход существует, то у каждой вершины, кроме начальной и конечной, рёбра разбиваются на пары «вошли — вышли», то есть её степень чётна. Значит, нечётную степень могут иметь только начало и конец обхода: нечётных вершин либо нет вовсе (тогда обход замкнут и является эйлеровым циклом), либо ровно две (тогда обход незамкнут, а эти две вершины служат его началом и концом). Если нечётных вершин больше двух, фигуру одним росчерком не нарисовать.

Обозначим углы прямоугольника во всех трёх фигурах одинаково: \(A\) — левый верхний, \(B\) — правый верхний, \(C\) — правый нижний, \(D\) — левый нижний.

а) Рёбра — четыре стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) и две диагонали \(AC\), \(BD\); всего 6. Точка, где диагонали пересекаются, вершиной не считается: линии там просто пересекаются, свернуть в этом месте нельзя. Из каждого угла выходят две стороны и одна диагональ, значит, степень каждой из вершин \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) равна 3 — все четыре степени нечётные. Проверка суммы: \(3 \cdot 4 = 12 = 2 \cdot 6\).

Нечётных вершин четыре, а их может быть не больше двух. Эту фигуру нарисовать нельзя. (Если бы точку пересечения диагоналей считать вершиной, её степень была бы равна 4, а это чётное число, и вывод не изменился бы.)

б) Кроме углов прямоугольника, есть ещё вершина \(S\) — верхняя точка треугольника над стороной \(AB\). Рёбра: стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), диагонали \(AC\), \(BD\) и наклонные \(AS\), \(BS\); всего 8. Степени вершин: \(A\) — 4, \(B\) — 4, \(C\) — 3, \(D\) — 3, \(S\) — 2. Проверка суммы: \(4 + 4 + 3 + 3 + 2 = 16 = 2 \cdot 8\).

Нечётных вершин ровно две — \(C\) и \(D\), значит, обход есть, и начать его надо в одном из нижних углов, а закончить в другом. Вот такой обход из \(D\) в \(C\): \(D\,A\,S\,B\,A\,C\,B\,D\,C\). Карандаш идёт по левой стороне вверх, по наклонной к вершине \(S\), по второй наклонной вниз в \(B\), по верхней стороне в \(A\), по диагонали в \(C\), по правой стороне вверх в \(B\), по диагонали в \(D\) и по нижней стороне в \(C\). Пройдены все 8 отрезков, каждый ровно один раз.

в) Здесь диагоналей у прямоугольника нет. Вершина \(S\) — верхняя точка треугольника над стороной \(AB\), вершина \(P\) — точка внутри прямоугольника, в которую сходятся наклонные от углов \(A\) и \(B\). Рёбра: стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), наклонные \(AS\), \(BS\), наклонные \(AP\), \(BP\) и вертикальный отрезок \(SP\); всего 9. Точка, в которой отрезок \(SP\) пересекает сторону \(AB\), вершиной не считается. Степени вершин: \(A\) — 4, \(B\) — 4, \(C\) — 2, \(D\) — 2, \(S\) — 3, \(P\) — 3. Проверка суммы: \(4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 = 18 = 2 \cdot 9\).

Нечётных вершин ровно две — \(S\) и \(P\), значит, обход есть: он начинается в верхней точке \(S\) и кончается во внутренней точке \(P\). Вот он: \(S\,A\,D\,C\,B\,S\,P\,A\,B\,P\). Карандаш идёт по левой наклонной вниз в \(A\), по левой стороне в \(D\), по нижней в \(C\), по правой вверх в \(B\), по правой наклонной в \(S\), по вертикальному отрезку вниз в \(P\), оттуда в \(A\), по верхней стороне в \(B\) и снова в \(P\). Пройдены все 9 отрезков, каждый ровно один раз.

Ответ: одним росчерком можно нарисовать фигуры б) и в): фигуру б) — обходом \(D\,A\,S\,B\,A\,C\,B\,D\,C\) из левого нижнего угла в правый нижний, фигуру в) — обходом \(S\,A\,D\,C\,B\,S\,P\,A\,B\,P\) из верхней точки во внутреннюю; фигуру а) нарисовать так нельзя, потому что все четыре её вершины имеют нечётную степень 3.