Вопросы к пункту 5 «Теорема Эйлера» на странице 67, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 5 «Теорема Эйлера».

Если \(\text{В}\) — число вершин, \(\text{Р}\) — число рёбер, а \(\text{Г}\) — число граней выпуклого многогранника, то

\[\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2.\]

Ответ: для выпуклого многогранника \(\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2\), где \(\text{В}\) — число вершин, \(\text{Р}\) — число рёбер, \(\text{Г}\) — число граней.

У куба 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней: \(8 - 12 + 6 = 2\).

У треугольной пирамиды (тетраэдра) 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани: \(4 - 6 + 4 = 2\).

У четырёхугольной пирамиды 5 вершин, 8 рёбер и 5 граней: \(5 - 8 + 5 = 2\).

У треугольной призмы 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней: \(6 - 9 + 5 = 2\).

Ответ: формула выполняется во всех случаях: куб — \(8 - 12 + 6 = 2\), тетраэдр — \(4 - 6 + 4 = 2\), четырёхугольная пирамида — \(5 - 8 + 5 = 2\), треугольная призма — \(6 - 9 + 5 = 2\).

Плоский граф разбивает плоскость на отдельные, не связанные друг с другом области: две точки одной области можно соединить непрерывной линией, не пересекающей рёбра, а точки разных областей — нельзя. Эти области и называются гранями плоского графа. Одна из граней всегда неограниченная — та, что лежит снаружи всего рисунка.

Ответ: грань плоского графа — это одна из областей, на которые он разбивает плоскость; одна из граней всегда неограниченная.

Для любого связного плоского графа верно равенство \(\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2\), где \(\text{В}\) — число вершин, \(\text{Р}\) — число рёбер, \(\text{Г}\) — число граней плоского графа.

Ответ: для связного плоского графа \(\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2\), где \(\text{В}\) — число вершин, \(\text{Р}\) — число рёбер, \(\text{Г}\) — число граней.