Вопросы к пункту 2 «Степени вершин» на странице 53, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 2 «Степени вершин».
Степень вершины — количество рёбер, проведённых из этой вершины. Вершина степени 0 не соединена ни с какой другой вершиной и называется изолированной.
Ответ: степенью вершины называется количество рёбер, проведённых из неё; вершина степени 0 называется изолированной.
В простом графе из вершины идёт не больше одного ребра к каждой из остальных, а остальных \(12 - 1 = 11\): степень вершины не превосходит 11, и значение 11 достигается, когда вершина соединена со всеми. У изолированной вершины степень 0.
Значит, степень любой вершины лежит в границах от 0 до 11, и каждое из этих значений у вершины возможно. Обе границы сразу в одном графе не встречаются: рядом с вершиной степени 11 изолированной вершины быть не может.
Ответ: степени вершин лежат в границах от 0 до 11.
Сумма степеней \(0 + 1 + 2 = 3\) — число нечётное, а сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и потому чётна. Такого графа не существует.
Ответ: нет, такого графа не существует: сумма степеней \(0 + 1 + 2 = 3\) нечётна, а сумма степеней всех вершин обязана быть чётной — она равна удвоенному числу рёбер.
Каждое ребро добавляет по единице к степеням двух вершин, то есть увеличивает сумму всех степеней ровно на 2: она равна удвоенному числу рёбер и всегда чётна, а 13 — число нечётное.
Ответ: нет, не может: сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и потому чётна, а 13 — нечётное число.
Сумма степеней всех вершин — удвоенное число рёбер: \(2 \cdot 10 = 20\).
Ответ: сумма степеней всех вершин такого графа равна 20.
Вопросы к пункту 2 «Степени вершин».
Степенью вершины называется количество рёбер, проведённых из этой вершины. Степень — главная характеристика вершины графа или мультиграфа.
Вершина степени 0 не соединена ни с какой другой вершиной и называется изолированной. Например, у каждой вершины треугольника степень равна 2, а если к одной из них пририсовать ещё одно ребро, её степень станет равной 3.
Ответ: степенью вершины называется количество рёбер, проведённых из неё; вершина степени 0 называется изолированной.
В простом графе нет петель и кратных рёбер, поэтому из вершины идёт не больше одного ребра к каждой из остальных вершин. Остальных вершин \(12 - 1 = 11\), значит, степень вершины не превосходит 11; значение 11 достигается, когда вершина соединена со всеми остальными. Меньше всего рёбер у изолированной вершины: её степень равна 0.
Значит, степень любой вершины такого графа лежит в границах от 0 до 11, и каждое из этих значений у вершины возможно.
Обе границы сразу в одном графе не встречаются: вершина степени 11 соединена со всеми, поэтому изолированной вершины рядом с ней быть не может.
Ответ: степени вершин лежат в границах от 0 до 11.
Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер, поэтому она всегда чётна. Здесь сумма степеней равна \(0 + 1 + 2 = 3\) — число нечётное.
То же видно и по следствию о нечётных вершинах: количество вершин нечётной степени в любом графе чётно, а в этом наборе нечётная степень ровно одна (единица).
Значит, такого графа не существует.
Ответ: нет, такого графа не существует: сумма степеней \(0 + 1 + 2 = 3\) нечётна, а сумма степеней всех вершин обязана быть чётной — она равна удвоенному числу рёбер.
Каждое ребро имеет два конца и добавляет по единице к степеням двух вершин, то есть увеличивает сумму всех степеней ровно на 2. Поэтому сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и всегда чётна. Число 13 нечётное.
Ответ: нет, не может: сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и потому чётна, а 13 — нечётное число.
Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: \(2 \cdot 10 = 20\).
Ответ: сумма степеней всех вершин такого графа равна 20.
